Exaktes Differential mit sin(x)

19.10.2013, 12:03

PickNick

Exaktes Differential mit sin(x)

Meine Frage:
Hallo also ich hab auf einem Übungsblatt folgende DGL:
$\begin{eqnarray*} y^{'} + y*\sin(x) = \sin(2x) \end{eqnarray*}$
Mit Hilfe des Integrierende Faktors:
$\begin{eqnarray*} e^{-\cos(x)+ 1} \end{eqnarray*}$ ;
(wobei $\begin{eqnarray*} (-\cos(x)+ 1 = \int_0^x \! \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ )
Habe ich die Funktion umgeformt auf:
$\begin{eqnarray*} y = e^{\cos(x)- 1} * (y_{0} + \int_0^x \! \sin(2x) * e^{\-cos(x)+ 1} \, dx) \end{eqnarray*}$
mein problem ist es, dass ich nicht weiß wie ich das Integral ausrechnen soll.

Meine Ideen:
Ich dachte, dass ich eine Substitution von
$\begin{eqnarray*} z= \cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = -\sin(x)\Rightarrow dx = dz * \frac{1}{-\sin(x)} \end{eqnarray*}$
im Integral durchführe, wodurch sich die Funktion folgend verändern würde:

$\begin{eqnarray*} y = e^{\cos(x)- 1} * (y_{0} +\int_0^{\cos(x)} \! e^{-z + 1} * \frac{\sin(2x)}{-\sin(x)} \, dz) \end{eqnarray*}$

und hier hoff ich, dass mir jemand helf kann dieses Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\cos(x)} \! e^{-z + 1} * \frac{\sin(2x)}{-\sin(x)} \, dz \end{eqnarray*}$

zu lösen.

Nach Umformen mit den Additionstheoremen und unter berücksichtigung von
$\begin{eqnarray*} z= \cos(x) \end{eqnarray*}$

komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\cos(x)} \! -e^{-z + 1} * \sqrt{z^{2} -z^{4} } \, dz \end{eqnarray*}$

was das ganze nicht sonderlich einfacher macht.

19.10.2013, 12:10

HAL 9000

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Der fehlende Baustein zum Abschluss der Substitution ist Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

19.10.2013, 12:14

PickNick

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danke ja den schritt hat ich vergessen noch hinzuzufügen aber jetzt komm ich wie gesagt auf dieses integral:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\cos(x)} \! -e^{-z + 1} * \sqrt{z^{2} -z^{4} } \, dz \end{eqnarray*}$

19.10.2013, 12:15

Che Netzer

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RE: Exaktes Differential mit sin(x)
Statt einer Substitution, die du übrigens falsch durchgeführt hast, kannst du die gennnte Identität auch direkt hier einsetzen und partiell integrieren:

Zitat:

Original von PickNick
$\begin{eqnarray*} y = e^{\cos(x)- 1} * (y_{0} + \int_0^x \! \sin(2x) * e^{\-cos(x)+ 1} \, dx) \end{eqnarray*}$

(wobei dort auch ein Vorzeichenfehler drinsteckt)

19.10.2013, 12:17

HAL 9000

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@PickNick

Nein, da hast du irgendwie falsch umgeformt: Es ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2x)}{-\sin(x)} = -2\cos(x) = -2z \end{eqnarray*}$ ,

was zum deutlich angenehmeren Integral

$\begin{eqnarray*} -\int\limits_0^{\cos(x)} 2ze^{-z + 1} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

führt, was leicht per partieller Integration aufgelöst werden kann.

19.10.2013, 12:17

PickNick

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RE: Exaktes Differential mit sin(x)
ich meine wenn ich das partiell integriere gerate ich in eine Endlosschleife oder lieg ich da jetzt falsch?

19.10.2013, 12:18

PickNick

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RE: Exaktes Differential mit sin(x)
@HAL 9000 DANKE!!! ich bin so blöd Big Laugh

100 dank

19.10.2013, 12:21

HAL 9000

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Ich sehe gerade, dass ich nicht auf deine falsch substituierte untere Integrationsgrenze geachtet habe - die ist natürlich auch noch zu korrigieren: Von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \cos(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2013, 12:23

PickNick

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ups sorry antwort geschickt bevor es richtig geladen war

19.10.2013, 12:25

PickNick

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ok tausend dank smile

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