Parallelogramme, Winkel und Diagonale allgemein

19.10.2013, 15:25

Hamburg

Parallelogramme, Winkel und Diagonale allgemein

Grüße,

eine relativ einfach aussehende Fragestellung, die ich aber seit 2 Tagen nicht hinkriege und inzwischen glaube ich, dass es (so) nicht geht. Ich versuche mich so klar wie möglich auszudrücken, falls es Unklarheiten gibt einfach nachfragen.

Ich versuche vom Ursprung (rot) aus ein kleineres Parallelogramm in einem größeren zu beschreiben. Die zwei großen habe ich, sowie alle Punkte, entsprechend die Geraden und alle Winkel bis auf Alpha. Wie komme ich aber an Alpha?

Ich habe mittels $\begin{eqnarray*} c² = a² + b² - 2a \cdot b \cdot cos(~\gamma) \end{eqnarray*}$ die Diagonalen ermittelt und müsste nun um "A" vom kleinen Parallelogramm zu erreichen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot f \end{eqnarray*}$ und entsprechend sinus und cosinus in x und y-Richtung benutzen. Aber eben von Alpha, wofür ich nichts finde.

Ich hoffe es ist halbwegs verständlich und jemand hat da eine Idee.

Grüße und danke,
Max

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19.10.2013, 15:57

HAL 9000

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Es wäre nicht schlecht, wenn du Formeln und Skizze in Einklang bringen würdest:

Falls $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ ein Parallelogramm ist, dann ist gemäß deiner Skizze $\begin{eqnarray*} a=c,b=d \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} f^2 = a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ könntest du dann in dem selben Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ wiederum per Kosinussatz berechnen:

$\begin{eqnarray*} b^2 = a^2+f^2 - 2af\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} \alpha = \arccos\left( \frac{a^2+f^2 -b^2}{2af} \right) \end{eqnarray*}$ .

Also mal ganz konkret und genau sagen:

- Welche Werte sind dir bekannt?

- Welche Werte suchst du?

- Sind das wirklich Parallelogramme, von denen du sprichst? Oder nur Trapeze bzw. sogar allgemeine Vierecke? Ich frag das deshalb, weil manches reichlich "schief" in deiner Zeichnung ausieht, dass man schwerlich an Parallelogramme denken kann.

20.10.2013, 11:01

Hamburg

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Hallo HAL 9000,

upsi, das soll statt dem c ein f sein, ist aber zum editieren zu spät Hammer

$\begin{eqnarray*} f^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(~\gamma) \end{eqnarray*}$

Mir ist aber noch ein Schnitzer aufgefallen (s.u.), aber erstmal zu deinen Fragen:

Zitat:

- Welche Werte sind dir bekannt?

Die Punkte A und B, die "Tiefe" des Parallelogramms (horizontal), sowie der Winkel $\begin{eqnarray*} ~\beta \end{eqnarray*}$ , und nicht wie ich eigentlich dachte $\begin{eqnarray*} ~\gamma \end{eqnarray*}$ . Daraus konstruiere ich C und D.

Zitat:

- Welche Werte suchst du?

Die Punkte des innenliegenden Parallelogramms.

Zitat:

- Sind das wirklich Parallelogramme, von denen du sprichst? Oder nur Trapeze bzw. sogar allgemeine Vierecke? Ich frag das deshalb, weil manches reichlich "schief" in deiner Zeichnung ausieht, dass man schwerlich an Parallelogramme denken kann.

Die beiden Konstrukte links sind Parallelogramme. Das sollten die blauen Markierungen verdeutlichen. In der Mitte das, das ist tatsächlich ein Trapez, spielt hier aber keine Rolle. Ich entschuldige mich für meine grottigen Paintskills traurig

Ich werde mich nacher nocheinmal daran setzen und mir deine Antwort genauer anschauen. Aber heute ist Sonntag, daher eilt das nicht smile

Grüße

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