konvexe Hülle

19.10.2013, 17:58

Kegorus

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konvexe Hülle

Meine Frage:
zz: Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist die konvexe Hülle einer kompakten Menge präkompakt.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes gilt:
A ist präkompakt <=> Jede Folge in A hat eine Teilfolge, die Cauchyfolge ist
Weil wir in einem vollständigen metrischen Raum sind ist das äquivalent zu: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
Also müsste man zeigen, dass jede Folge in der konvexen Hülle meiner kompakten Menge eine konvergente Teilfolge hat. Irgendwelche Ideen? Vielleicht kann man auch direkt die Präkompaktheit zeigen..

19.10.2013, 18:24

Che Netzer

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RE: konvexe Hülle
Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ lassen sich kompakte Mengen wunderbar dadurch charakterisieren, dass sie beschränkt und abgeschlossen sind – das sollte bekannt sein. Präkompaktheit ist dann äquivalent zur ~~Abgeschlossenheit~~ Beschränktheit.

Übrigens verallgemeinert der Satz von Mazur die zu zeigende Aussage auch auf beliebige Banach-Räume.

19.10.2013, 22:28

Kegorus

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RE: konvexe Hülle
Danke für deine Antwort =)

Zitat:

Präkompaktheit ist dann äquivalent zur Abgeschlossenheit.

Du meinst also, die zu zeigende Aussage ist äquivalent zu:
"Im R^n ist die konvexe Hülle einer kompakten Menge abgeschlossen."?
Wieso ist die Präkomnpaktheit äquivalent zur Abgeschlossenheit?

19.10.2013, 22:32

Che Netzer

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Oh, da habe ich mich verschrieben! Ich meinte natürlich, dass Präkompaktheit im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ äquivalent zu Beschränktheit ist (habe das oben editiert).
So stimmt es jetzt auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist diese Charakterisierung bekannt/einleuchtend?

19.10.2013, 22:53

Kegorus

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Bekannt nicht, einleuchtend schon =D
Das müsst ich aber auch erst mal beweisen verwirrt

verwirrt

19.10.2013, 22:56

Che Netzer

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Na gut, dann geht es auch hiermit:

Zitat:

A ist präkompakt <=> Jede Folge in A hat eine Teilfolge, die Cauchyfolge ist

Was habt ihr denn an äquivalenten Formulierungen für Kompaktheit?

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19.10.2013, 23:02

Kegorus

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K ist kompakt genau dann wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in K liegt.
Und gdw jede Folge in K einen Häufungspunkt in K hat.

19.10.2013, 23:09

Che Netzer

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Kannst du auch voraussetzen, dass du zu kompakten Mengen stets einen abgeschlossenen Quader o.ä. als Obermenge findest?

19.10.2013, 23:11

Kegorus

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Ja müsste gehen, da die kompakte Menge im R^n ja beschränkt ist..

19.10.2013, 23:13

Che Netzer

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Wenn das bekannt ist, dann kannst definitionsgemäß sicher annehmen, dass die kompakte Menge in einer abgeschlossenen Kugel enthalten ist.

Kannst du jetzt begründen, wieso auch die konvexe Hülle in dieser Kugel enthalten ist?

19.10.2013, 23:25

Kegorus

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Anschaulich ist es mir glaub ich klar. Die konvexe Hülle ist ja die kleinste konvexe Obermenge unserer kompakten Menge. Das heißt die konvexe Hülle von M liegt sicher in einer Kugel, deren Radius die Hälfte des Durchmessers von M ist (Wenn man die Kugel passend platziert).

19.10.2013, 23:31

Che Netzer

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Ja, eine konvexe Menge (und das ist die Kugel ja), die unsere kompakte Menge enthält, enthält auch deren konvexe Hülle.
Bekannt ist sicherlich auch, dass die abgeschlossene Kugel kompakt ist, d.h. jede Folge darin hat eine Teilfolge, die konvergiert und damit eine Cauchy-Folge ist.
Kannst du damit etwas anfangen?

19.10.2013, 23:43

Kegorus

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Wenn die konvexe Hülle von M in einer kompakten Menge liegt, dann weiß ich doch auch insbesondere, dass jede Folge in der konvexen Hülle eine konvergente Teilfolge hat und somit die konvexe Hülle präkompakt ist. Hier wäre man fertig, aber ich habe halt keinen Beweis, dass es für die konvexe Hülle einer kompakten Menge eine abgeschlossene Kugel als Obermenge gibt..

19.10.2013, 23:46

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kegorus
Wenn die konvexe Hülle von M in einer kompakten Menge liegt, dann weiß ich doch auch insbesondere, dass jede Folge in der konvexen Hülle eine konvergente Teilfolge hat und somit die konvexe Hülle präkompakt ist.

Ja, die Teilfolge konvergiert in der Kugel und ist damit eine Cauchy-Folge – auch in der konvexen Hülle.

Zitat:

Hier wäre man fertig, aber ich habe halt keinen Beweis, dass es für die konvexe Hülle einer kompakten Menge eine abgeschlossene Kugel als Obermenge gibt..

Das folgt aus der Definition einer konvexen Hülle: Diese ist ja die kleinste konvexe Obermenge, d.h. jede konvexe Obermenge (hier die abgeschlossene Kugel um unsere konvexe Menge) ist größer als die konvexe Hülle.

20.10.2013, 00:06

Kegorus

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Super vielen Dank für deine Hilfe!
Nur noch eine Frage: Müsste man nicht die Existenz von einer abgeschlossenen konvexen Obermenge hier zeigen? Die konvexe Hülle ist die kleinste konvexe Obermenge, aber theoretisch könnte es ja nur diese eine konvexe Obermenge geben. Oder kann man einfach sagen, die gibt es, da wir im R^n sind?

20.10.2013, 08:30

Che Netzer

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Beschränktheit kann man ja darüber definieren, dass die Menge in einer genügend großen Kugel enthalten ist. Und deren Abschluss ist weiterhin eine konvexe Obermenge.

20.10.2013, 12:35

Kegorus

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Passt, danke dir Freude

Freude

Ich hab jetzt noch gezeigt, dass aus der Beschränktheit der kompakten Menge folgt, dass jede Konvexkombination aus convM ebenfalls durch die gleiche Schranke beschränkt ist und es somit eine abgeschlossene Kugel als Obermenge geben muss

20.10.2013, 13:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kegorus
Ich hab jetzt noch gezeigt, dass aus der Beschränktheit der kompakten Menge folgt, dass jede Konvexkombination aus convM ebenfalls durch die gleiche Schranke beschränkt ist und es somit eine abgeschlossene Kugel als Obermenge geben muss

Wie gesagt: Das folgt direkt aus der Definition der konvexen Hülle!
Hat eine Menge eine konvexe Obermenge, so ist auch die kleinste konvexe Obermenge in dieser einen, speziellen konvexen Obermenge enthalten.

20.10.2013, 18:53

Kegorus

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Super danke smile

smile

Hab noch ein sehr ähnliches Beispiel:
zz: In einem normierten Raum ist die konvexe Hülle einer präkompakten Menge präkompakt.

Als Hinweis steht, man kann das vorherige Bsp und die Dreiecksungleichung verwenden.

Jetzt frage ich mich, ob man hier auch sagen kann, dass es ein Kompaktum als Obermenge gibt. Beschränkt und abgeschlossen ist ja jetzt nicht mehr äquivalent zu kompakt..

20.10.2013, 19:30

Che Netzer

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Habt ihr auch Aussagen bzw. Charakterisierungen von Präkompaktheit, die etwas mit endlichen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Netzen zu tun haben?

20.10.2013, 19:40

Kegorus

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Nein leider..Nur diese zwei:
A ist präkompakt <=> für alle Epsilon >0 gibt es eine endliche Überdeckung von A durch Epsilon Kugeln
<=> jede Folge in A hat eine Teilfolge, die Cauchyfolge ist.

20.10.2013, 19:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kegorus
für alle Epsilon >0 gibt es eine endliche Überdeckung von A durch Epsilon Kugeln

Eine Überdeckung durch Kugeln vom Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nennt man auch ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Netz.
Diese Charakterisierung bietet sich hier an.
Nutze, dass die vorgegebene kompakte Menge eine solche Überdeckung eine hat und zeige, dass dies auch für ihre konvexe Hülle gilt.

20.10.2013, 19:52

Kegorus

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Folgt denn aus der Präkompaktheit Kompaktheit? Oder hast du nur das "prä" vergessen?

20.10.2013, 19:58

Che Netzer

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Wieder ein Tippfehler Ups

Ups

20.10.2013, 20:19

Kegorus

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Ich komm bei dem Bsp einfach nicht weiter.. Ich weiß zwar, dass sich M überdecken lässt, aber diese Überdeckung muss ja nicht auch eine für die konvexe Hülle von M sein. Und Beschränktheit bekomme ich auch nicht für die Präkompaktheit von M.
Ich frag mich auch, was die Dreiecksungleichung in diesem Beispiel bringen soll. Höchstwahrscheinlich sollte sie auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^N a_{i}x_{i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^N a_{i}=1, a_{i}\geq 0, x_{i} aus M \end{eqnarray*}$ , ein Element aus convM (dargestellt als Konvexkombination) angewendet werden.

20.10.2013, 20:22

Che Netzer

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Nimm dir erstmal eine endliche Menge von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugeln, welche die präkompakte Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überdeckt. Bezeichne die Menge ihrer Mittelpunkte mit $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Was kannst du über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und über die konvexe Hülle von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ aussagen?

21.10.2013, 00:27

Kegorus

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Da seh ich jetzt keinen Zusammenhang verwirrt

verwirrt

21.10.2013, 05:57

Che Netzer

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Wie wäre es mit der Feststellung, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ als endliche Menge kompakt ist?

21.10.2013, 10:53

Kegorus

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Weil K beschränkt ist, kann ich sagen, dass es ein Kompaktum als Obermenge gibt, das auch convM enthält?

21.10.2013, 19:08

Che Netzer

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Die Menge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist nicht nur beschränkt, sondern sogar endlich und damit kompakt und außerdem im endlichdimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}K \end{eqnarray*}$ enthalten.

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