Äquivalenz von Aussagen

19.10.2013, 18:35

Lynn2

Äquivalenz von Aussagen

Meine Frage:
Huhu. smile

Und zwar sitze ich vor einer Aufgabe und komme nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir helfen.
Die Aufgabe lautet:
Es seien A,B beliebige Mengen. Beweisen Sie die Äquivalenz der Aussagen
(1) $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} A\setminus B = leere Menge \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$
mit einem Ringschluss (1) => (2) => (3) => (4) => (1).

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass:
(1) $\begin{eqnarray*} A \subset B := \forall x: x \in A => x \in B \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} A\setminus B := \forall x: x \in A \wedge nicht x \in B \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} A \cap B := \forall x: x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$
und (4) $\begin{eqnarray*} A \cup B := \forall x: x \in A \vee x \in B \end{eqnarray*}$
bedeutet.
Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich das miteinander verknüpfen kann.
Vielen Dank im Voraus.

Edit(Helferlein): Latexcode korrigiert und Folgeposting gelöscht.

19.10.2013, 19:18

magic_hero

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Generelles Vorgehen beim Zeigen von Mengengleichheiten bzw. Mengeninklusionen ist, sich ein Element aus der einen Menge zu nehmen und zu zeigen, dass es dann auch in der anderen liegen muss (bei Mengengleichheit auch noch in vertauschter Rolle). So ist dies auch hier meistens sinnvoll, außer vielleicht bei der Richtung (1) => (2).

Beginnen wir mal bei (1) => (2): Du darfst die Aussage (1) voraussetzen, also dass A eine Teilmenge von B ist, und musst zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} A \setminus B \end{eqnarray*}$ gleich der leeren Menge ist. Zeige dazu:
1. $\begin{eqnarray*} A \setminus B \subset \emptyset \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \emptyset \subset A \setminus B \end{eqnarray*}$
Dann sind beide Mengen offenbar gleich.

Bei den anderen Richtungen gehst du vor, wie oben gesagt: Nimm ein Element aus der einen Menge und zeige, dass es auch in der anderen ist, wobei du wieder jeweils eien Aussage voraussetzen darfst (z.B. bei (2) => (3) setzt du (2) voraus). Für Mengengleichheit musst du halt beide Inklusionen zeigen.

19.10.2013, 20:36

Lynn2

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zu 1.)
$\begin{eqnarray*} A Differenz (\) B := \forall x: x \in A \wedge nicht \in B \end{eqnarray*}$
und nun weiß ich nicht weiter wegen der leeren Menge!?

19.10.2013, 22:45

Lynn2

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Ich weiß leider nicht, wie ich mit der leeren Menge umgehen soll!

Ich weiß nur, dass A \ B bedeutet: $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x nicht \in B \end{eqnarray*}$ und dann weiß ich nicht weiter.

Mit ist generell nicht bewusst, wie ich die Implikationen beweisen kann. verwirrt

20.10.2013, 10:57

magic_hero

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Also gut. Erst mal noch mal mein Geschreibsel von gestern Abend:

Zitat:

Original von magic_hero
Beginnen wir mal bei (1) => (2): Du darfst die Aussage (1) voraussetzen, also dass A eine Teilmenge von B ist, und musst zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} A \setminus B \end{eqnarray*}$ gleich der leeren Menge ist. Zeige dazu:
1. $\begin{eqnarray*} A \setminus B \subset \emptyset \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \emptyset \subset A \setminus B \end{eqnarray*}$
Dann sind beide Mengen offenbar gleich.

Wir zeigen nun zuerst 2. Da müssen wir aber gar nichts tun, denn dass die leere Menge eine Teilmenge einer anderen Menge ist, ist offensichtlich (denke aber bitte trotzdem selbst noch mal darüber nach!).

Dann zu 1.: Da hast du ja schon angefangen. $\begin{eqnarray*} x \in A \setminus B \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du noch deine Voraussetzung benutzen, nämlich $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für unser x? Danach musst du nur noch die Aussagen, die du dann erhältst, zusammenbringen (es sollte dann da stehen, dass x in einer Menge ist, gleichzeitig aber auch nicht in dieser Menge ist!). Überlege dir dann, was das zur Folge haben muss.

20.10.2013, 18:06

Lynn2

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Also bedeutet das, dass weil A \ B eine leere Menge ist, es keine x gibt, die in A \ B liegen?

20.10.2013, 19:19

magic_hero

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Zitat:

Original von Lynn2
Also bedeutet das, dass weil A \ B eine leere Menge ist, es keine x gibt, die in A \ B liegen?

Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \setminus B \end{eqnarray*}$ die leere Menge ist, wobei du eben voraussetzen darfst, dass $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ . Wenn du (1) => (2) zeigen willst, weißt du eben noch nichts über die Gültigkeit von (2), sondern kannst nur die Gültigkeit von (1) als gegeben hinnehmen.

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