geschlossene Formel für das Kapital

19.10.2013, 22:14	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
geschlossene Formel für das Kapital Meine Frage: Könnt ihr mir bei dieser Frage auf die Sprünge helfen? (a) Zu Beginn des Jahres 1 liege bei der Bank das Kapital K(0) vor (im Fall K(0) > 0 ist es ein Guthaben, im Fall K(0) < 0 ein Kredit). Weiterhin wird am Ende eines jeden Jahres (man sagt nachschüssig) ein fester Geldbetrag E verrechnet (falls E >, wird in die Bank eingezahlt, ist E > 0, so wird von der Bank etwas ausbezahlt). Das Kapital wird mit dem jährlichen Zinssatz p verzinst. Geben Sie eine geschlossene Formel für das Kapital K(n) am Ende des Jahres n an. (b) Susi Sorglos nimmt bei der Gierbank einen Kredit über 15000 Euro mit 13% Zinsen pro Jahr auf, um sich ein Auto zu kaufen. Sie zahlt den Kredit in jährlichen Raten von 2200 Euro nachschüssig ab. Wie lange wird sie zahlen? Berechnen Sie die Summe ihrer Einzahlungen. Beachten Sie, dass die letzte Rate u.U. kleiner als 2200 Euro ist.) Meine Ideen: $\begin{eqnarray} K_{1} = (K_{0}+E)p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = (K_{1}+E)p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = (K_{0}+E)p+E)p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = K_{0}p^{2}+E(p+p^{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{n} = (K_{0}p^{n}+E(p+...+p^{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p+...+p^{n} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n p^{k} \end{eqnarray}$ Ich dachte, dass es bis hierher richtig sei, doch dann habe ich Aufgabe b hiermit ausprobiert und habe gesehen, dass es nicht wirklich funktioniert für Kredite. Könnt ihr mir weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus.
19.10.2013, 23:26	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Ansatz ist ganz gut. Du bist nur davon ausgegangen, dass der Beginn der Rückzahlung des Kredits in dem Jahr ist, indem der Kredit aufgenommen wird. Die Rückzahlungen eines Kredits beginnen aber ein Jahr später. Genauso verhält es sich mit dem Guthaben. Somit ist ergeben deine Ideen: $\begin{eqnarray} K_{1} =K_{0}p+E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = K_{1}p+E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = (K_{0}p+E)p+E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = K_{0}p^{2}+Ep+E \end{eqnarray}$ Damit fängt die geometrische Reihe für p mit 1 an und hört bei $\begin{eqnarray} p^{n-1} \end{eqnarray}$ auf. $\begin{eqnarray} K_{n} = K_{0}p^{n}+E(1+...+p^{n-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+...+p^{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n-1} p^{k} \end{eqnarray}$ Für diese Partialsumme einer geometrischen Reihe gibt es eine geschlossene Formel. Die Formel und Herleitung findest du hier Grüße.
20.10.2013, 18:15	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich dann meine Werte aus Aufgabe b) einsetze, funktioniert das immer noch nicht.
20.10.2013, 18:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest schon zeigen, was du gemacht hast. Sonst kann ich leider nichts zu deinem Problem sagen.
20.10.2013, 18:57	Lynn2	Auf diesen Beitrag antworten »
K(0) = -15.000 Euro p = 0,13 E = 2.200 Euro Wenn ich nun also das Kapital (den Betrag des restlichen Kredites) nach einem Jahr berechnen möchte, müsste ich ja rechnen: K(1) = (-15.000) * 0,13 + 2.200 K(1) = 250 Rein logisch müsste das falsch sein.
21.10.2013, 07:57	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit es funktioniert, muss man statt p noch 1+p schreiben. $\begin{eqnarray} K_{1} =K_{0}(1+p)+E \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} K_1=-15000(1+0,13)+2200 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_1=-16950+2200=-14750 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_{2} = K_{0}(1+p)^{2}+E(1+p)+E \end{eqnarray}$ In dem Link ist $\begin{eqnarray} 1+p = q \end{eqnarray}$ Somit muss man für $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} (1+p) \end{eqnarray}$ einsetzen.
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