Endlichen Gruppen |
| 19.10.2013, 23:00 | Avalancher4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Endlichen Gruppen Gegeben sei die achtelementige Menge Q8 = (+1, -1, +i, -i, +j, -j, +k, -k) Zeigen Sie, dass es genau eine Verknüpfung °: Q8 x Q8 --> Q8 gibt, so dass (Q8, °) eine Gruppe ist und die neben den üblichen Vorzeichenregeln die folgenden Relationen erfüllt: i*i=j*j=k*k=i*j*k= -1. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir mit dieser Aufgabe helfen könntet. Meine Ideen: ALso ich weiß schon welche Verknüpfung es zu einer Gruppe macht, doch ich weiß nicht wie ich das beweisen soll. Wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar |
||
| 19.10.2013, 23:18 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Eine Frage zu endlichen Gruppen Hallo Avalancher4, Ich würde es spontan einfach mit einer Wertetafel probieren. Da ja die Vorzeichenregeln erfüllt sein sollen, reicht eine 3x3 Tafel mit i, j, k - da die Produkte dieser untereinander dann schon alle anderen Produkte determinieren. Drei Einträge in der Tafel (i*i, j*j, k*k) hast du schon, die letzten 6 kriegst du vermutlich durch geschicktes links/rechtsmultiplizieren an ijk=-1. lg |
||
| 19.10.2013, 23:28 | Avalancher4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Liege ich denn mit meiner Vermutung richtig, dass die richtige Vermutung die Multiplikation ist? Wenn es die Multiplikation ist, dann ist doch j*j zum Beispiel nicht element der Menge Q8 oder? |
||
| 19.10.2013, 23:37 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Von welcher Multiplikation genau redest du? Das Ergebnis ist in der Tat die Multiplikation der Quaternionen. Allerdings ist da j*j= -1 in Q8 (wie auch vorgegeben) |
||
| 20.10.2013, 00:06 | Avalancher4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also ist: i*i=-1 i*j=1 i*k=1 j*i=1 j*j=-1 j*k=1 k*i=1 k*j=1 k*k=-1 reicht das als beweis, wenn ich das als verknüpfungstafel schreibe? |
||
| 20.10.2013, 00:13 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist nicht richtig. Wie kommst du darauf, dass das gelten sollte? Wenn das so stimmen würde, dann folgt aus I) i*i = -1 II) i*j= 1 => i*i = -i*j => i= -j und damit wäre Q8 nicht achtelementig. Vielmehr musst du versuchen mit i*j*k = -1 zu arbeiten. Zum Beispiel folgt sofort -k= i*j*k*k = i*j*(k*k) = - i*j => i*j= k |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 20.10.2013, 00:26 | Avalancher4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ahhhh, okay. jetzt habe ich es gerafft. danke, dass du mir es so ausführlich erklärt hast, ich hatte gerade echt nen hänger. Eine letzte Frage könntest du mir beantworten: wie zeige ich bei einer endlichen Gruppe, dass diese abelsch ist? |
||
| 20.10.2013, 00:42 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Allgemein ist eine Gruppe abelsch, wenn für alle a, b in G gilt: a*b= b*a. Bei dir wird das nicht der Fall sein, da z.B. i*j ungleich j*i. Kriterien dafür, ob eine endliche Gruppe abelsch ist, gibt es viele: z.B. Ordnung(G)= p oder Ordnung(G) = p² mit p Primzahl => G abelsch Die endlichen abelschen Gruppen sind genau die direkten Produkte von endlich vielen zyklischen Gruppen. Falls für alle a, b in G gilt: (ab)² = a²b², dann ist G abelsch. Und vieles mehr... lg |
||
| 20.10.2013, 00:51 | Avalancher4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
vielen dank für die hilfe!!! |
||
| 23.10.2013, 18:34 | DerWissMitBiss | Auf diesen Beitrag antworten » |
Reicht es als dann als Beweis die Verknüpfungstafel hinzuschreiben oder muss man noch das Inverse, so wie das neutrale Element aufzeigen? |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
Unwissenschaftlich!