Matrixfunktion stetig differenzierbar

19.10.2013, 23:41

Lithiesque

Matrixfunktion stetig differenzierbar

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} X \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^{n\times n} \rightarrow\mathbb{R}, X\mapsto Spur(X^2) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Kann man so argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} X\mapsto X^2 \end{eqnarray*}$ als Polynom und $\begin{eqnarray*} X\mapsto Spur(X) \end{eqnarray*}$ als lineare Abbildung jeweils stetig differenzierbar sind und daher auch ihre Verkettung?

20.10.2013, 03:07

DaCaeser

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RE: Matrixfunktion stetig differenzierbar
Also ich weiß nicht wie du Stetigkeit erklärt hast, wenn du aber Stetigkeit so definierst wie

Seien $\begin{eqnarray*} M,N \end{eqnarray*}$ topologische Räume (metrische Räume, was der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist, sind topologische Räume) und $\begin{eqnarray*} f:M\to N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn für alle offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A\subseteq N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du Argumentieren was mit $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:Y\to Z \end{eqnarray*}$ , beide stetig, entsprechend mit $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ passiert, warum muss das stetig sein? (Diese Frage hatte ich mittlerweile in drei mündlichen Prüfungen, Stetigkeitsbeweise in dieser Richtung sind dafür sehr beliebt)

entsprechend deiner Definitionen kannst du dir dass dann auf für die differenzierbarkeit überlegen. Ich denke aber eher das du die Beweise dafür teilweise in deinem Skript hast. Ich denke das die schwierigkeit darin besteht zu zeigen, dass die Funktionen die du verketten willst wirklich stetig differenzierbar sind.

20.10.2013, 08:33

Lithiesque

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RE: Matrixfunktion stetig differenzierbar

Zitat:

Original von DaCaeserentsprechend deiner Definitionen kannst du dir dass dann auf für die differenzierbarkeit überlegen. Ich denke aber eher das du die Beweise dafür teilweise in deinem Skript hast. Ich denke das die schwierigkeit darin besteht zu zeigen, dass die Funktionen die du verketten willst wirklich stetig differenzierbar sind.

Ich kann (vermutlich) voraussetzen, dass die Verkettung stetig differenzierbarer Funktionen wieder stetig differenzierbar ist; was mich interessierte, war ja gerade, ob meine Begründung dafür, dass die beiden verketteten Funktionen stetig differenzierbar sind, korrekt ist oder nicht.

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