Folgenkompaktheit

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DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkompaktheit
Meine Frage:
Hey Leute,

Ich habe folgendes Problem. Es sei ein metrischer Raum eine folgenkompakte Teilmenge. Ferner sei eine beliebige offene Überdeckung. Ich möchte nun zeigen es existiert ein so, dass für alle ein existiert mit .

Meine Ideen:
Angenommen es gäbe kein solches , so sei zu die Folge



gegeben, insbesondere gäbe es ein , so dass



für alle

das bedeutet seinerseits und damit war keine Überdeckung oder , aber ist nicht offen.

Ist die Argumentation sinnbringen? bin mir bei dem ein oder anderen Argument unsicher und würde mich da über ein Feedback recht freuen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

zunächst zur Begrifflichkeit: mit meinst du einen Epsilon-Ball um x?

Zitat:
Ist die Argumentation sinnbringen?

Nein, du gehst davon aus, dass es ein gibt, sodass kein Epsilonball um in einem liegt. Davon kannst du aber nicht ausgehen. Du bekommst nur, dass es zu jedem mindestens ein gibt. Diese können aber verschieden für jedes Epsilon sein.

Eine Sache, auf die du bei Beweisen achten solltest, ist, dass du die wichtigste Voraussetzung garnicht verwandt hast. Deswegen kann schon etwas garnicht stimmen. Du hast die Kompaktheit nicht einfließen lassen.

Mal ein Schubs in die richtige Richtung:
Du findest zu deiner Epsilon-Nullfolge eine Folge in , sodass für alle .

Auf diese Folge solltest du die Folgenkompaktheit mal loslassen Augenzwinkern
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke für deine Antwort =)

ja damit meine ich die offenen -Kugeln. =)

Jetzt ist das zumindest klar, meine Annahme war falsch zumindest kann ich dann weiter folgern das die Folge eine konvergente teilfolge hat mit einem grenzwert in . Das bedeutet seinerseits es existiert ein , so dass fast alle Folgenglieder dieser folge enthält. metrisch impliziert dabei das is ein maximales finden kann, so dass



Widerspruch!

Natürlich unsauber aufgeschrieben in bezug auf die Teilfolge etc. aber ich hoffe die idee konnte ich vermitteln =)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Natürlich unsauber aufgeschrieben in bezug auf die Teilfolge etc. aber ich hoffe die idee konnte ich vermitteln =)


Es wäre gut, wenn du zumindest soviel aufschreibst, dass ich nicht raten muss, was du meinst.

soll wohl der Grenzwert der konvergenten Teilfolge sein?

Zitat:
Das bedeutet seinerseits es existiert ein , so dass fast alle Folgenglieder dieser folge enthält


Hier meinst du wohl eher, dass für alle fast alle Folgenglieder der Teilfolge enthält ?

Insgesamt kann ich bei diesem Aufschrieb wirklich nicht sagen, ob du das richtige meinst oder nicht.
Wenn du dir sicher bist, dass du richtig liegst, reichst das ja, in dem Fall sind wir hier fertig.
Wenn ich das allerdings überprüfen soll, musst du etwas mehr schreiben.

Bei Dingen, die noch einfließen, die du aber mit keinem Wort erwähnst, weiß ich sonst nicht, ob dir das klar ist. (zB. die Offenheit der Überdeckungsmengen, wo dort die Epsilon-Nullfolge einfließt usw..)

LG Guppi12
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann versuche ich es mal lieber zur sicherheit sauber hinzuschreiben. Wir haben also für und eine Folge gefunden, dass für alle

Wegen der Folgenkompaktheit hat diese Folge eine konvergente Teilfolge, sei das mit für ein .

Da Überdeckung ist, exisitert ein mit

ist offen, d.h. es existiert ein , sodass .

Also existiert ein , so dass für alle .

Setze . So gilt

Nun ist und eine Nullfolge, d.h. dort existiert seinerseits ein Index (nehmen wir mal ), sodass , das ist aber im Widerspruch zur Annahme.

Ich hoffe mal ich habe mich jetzt nicht in den indizes verzettelt Hammer
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke das passt so weitestgehend.
Nur ein paar Verfeinerungen sind nötig.

Zitat:
Also existiert ein , so dass für alle .


Für die spätere Abschätzung brauchst du hier nicht ein zu gehöriges , sondern ein zu gehörendes. Sonst reicht es nicht aus. Dazu komme ich weiter unten.

Zitat:
Setze


Das Infimum dieser Menge ist , da gegen konvergiert). Ich denke mal du wolltest Supremum schreiben. Damit passen dann auch die Inklusionen, die dahinter stehen.

Für diesen Teil hier: brauchst du, dass nicht beliebig nah am Rand der delta-Umgebung um liegen darf. Deswegen musste man oben nehmen. Stattdessen braucht man hier dafür eigentlich nicht als Supremum, sondern nur , da bist du wahrscheinlich ein bisschen durcheinander gekommen Augenzwinkern Du kannst übrigens auch gleich setzen.

Dann hast du dich unten noch beim Index vertan. Aber das ist ganz offensichtlich nur ein Schreibfehler.
 
 
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja bei der Wahl des Infimums war ich gedanklich beim Abstand zum Rand, das entspricht dann wie du sagtest dem Supremum zum Zentrum (was ich dann fälschlicherweise angegeben habe) das machts aber einfach als meine gedankliche Konstruktion ...

Aber danke für deine Hilfe Tanzen
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