alle x bestimmen

20.10.2013, 10:51

gottem11111

alle x bestimmen

Hallo Leute! Hab letzte Woche mein Studium angefangen und da haben wir ein paar Übungsaufgaben bekommen. Bei einer komme ich aber leider nicht weiter, hoffe ich könnt mich auf den richtigen Weg führen smile

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} - \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-1} \end{eqnarray*}$

Nach ein bisschen herumüberlegen, hab ich am Ende das hier rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} 0=4x^{2} -2x \end{eqnarray*}$

indem ich die Ursprungsgleichung erst quadriert habe, um die Wurzeln wegzubekommen und dann nochmal wegen der 2. binomischen Formel. Ist das aber legitim? ich hab da so meine Zweifel...

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} -\sqrt{x-1} = \sqrt{2x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-x-1=2x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} -\left(x-1\right)^{2}=\left(2x-1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} -x^{2} -2x+1=4x^{2} -4x+1 \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt einfach die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden oder bin ich auf dem Holzweg?

20.10.2013, 11:01

PhyMaLehrer

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Es ist schon eine gute Idee, die Gleichung zu quadrieren. Das heißt aber nicht, daß du einfach die Wurzelzeichen weglassen darfst, zumindest nicht auf der linken Seite. Dort steht eine Differenz aus zwei Wurzeln, die zu quadríeren ist...

20.10.2013, 11:04

Kasen75

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RE: alle x bestimmen

Zitat:

Original von gottem11111

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} -\sqrt{x-1} = \sqrt{2x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-x-1=2x-1 \end{eqnarray*}$

Du bist leider auf dem Holzweg.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1} =b \end{eqnarray*}$

Jetzt wende die zweite binomische Formel an.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

Grüße.

Edit: Bin weg. Wink

20.10.2013, 11:24

gottem11111

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ok gut, dann habe ich also:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{x} -\sqrt{x-1} \right) ^{2} = 2x-1 \end{eqnarray*}$

die linke Seite macht mir trotzdem noch Probleme. Wie multipliziere ich das aus? Ausgeschrieben ist es ja:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{x} -\sqrt{x-1} \right) *\left(\sqrt{x} -\sqrt{x-1} \right) \end{eqnarray*}$

habe ich dann am Ende:

$\begin{eqnarray*} x-\sqrt{x} *\sqrt{x-1} -\sqrt{x-1} *\sqrt{x} +x-1 \end{eqnarray*}$

?
Wenn ja, dann kommt doch:

$\begin{eqnarray*} 2x-1=2x-1 \end{eqnarray*}$

raus... aber wie sieht dann die Lösung aus?!

20.10.2013, 12:33

Kasen75

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Bin wieder da Big Laugh

, solange PhyMaLehrer offline ist.

@gottem11111

Du hast nicht richtig zusammengezählt:

$\begin{eqnarray*} x\textcolor{blue}{-\sqrt{x} *\sqrt{x-1} -\sqrt{x-1} *\sqrt{x}} +x-1 \end{eqnarray*}$

Was ergibt der blaue Term ?

20.10.2013, 13:26

gottem11111

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achso das ergibt doch:

$\begin{eqnarray*} -2\left(\sqrt{x} *\sqrt{x-1} \right) \end{eqnarray*}$

oder kann man das besser zusammenfassen?

dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} -2\left(\sqrt{x} *\sqrt{x-1} \right) +2x-1=2x-1 \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} -2\left(\sqrt{x} *\sqrt{x-1} \right) =0 \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich nun noch die Wurzeln weg?

20.10.2013, 13:40

Kasen75

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Die Wurzeln musst du gar nicht entfernen, da $\begin{eqnarray*} \sqrt 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Dazu muss man wissen, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

Teilt man die Gleichung durch (-2) steht da:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} *\sqrt{x-1} =0 \end{eqnarray*}$

Was sind somit die vorläufigen Lösungen ?

20.10.2013, 13:45

gottem11111

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also 0 und 1

aber wieso vorläufig?

20.10.2013, 13:51

Kasen75

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Genau.

Jetzt setzt du jeweils x=1 und x=0 in die Ausgangsgleichung ein und schaust, ob die beiden Seiten auch gleich sind. Wenn dies bei einem x-Wert nicht der Fall ist, dann gehört dieser auch nicht zu Lösung.

"Vorläufig" deswegen, weil quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Durch das Quadrieren erhält man unter Umständen Scheinlösungen. Deswegen muss eine Überprüfung bzw. Probe vorgenommen werden (siehe 1. Abschnitt).

20.10.2013, 13:58

gottem11111

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super vielen dank! dass mit dem quadrieren werde ich mir merken Augenzwinkern