1x1 Matrix = Skalar?

20.10.2013, 11:52	Brummbär	Auf diesen Beitrag antworten »
1x1 Matrix = Skalar? Hallo, ist eine 1x1 Matrix das gleiche wie ein Skalar? Wenn ich etwa eine (3x4)-Matrix mit einer (1x1)-Matrix addieren soll (was nicht geht), entspricht das dann der ADdition einer Matrix mit einem Skalar? usw..
20.10.2013, 12:29	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
20.10.2013, 22:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
@Lithiesque, warum sollte eine 1x1-Matrix einem Skalar entsprechen? Das ist nicht einfach so gleichzusetzen!
20.10.2013, 22:15	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte höchstens sagen: $\begin{eqnarray} Mat_{1,1}\left(\mathbb{R}\right)\simeq \mathbb{R}. \end{eqnarray}$ Streng genommen ist es also nicht das Gleiche, aber sogar unser Übungsleiter in Analysis II hat mal gesagt: "Eine 1-kreuz-1-Matrix, auch Zahl genannt ...". Aber unabhängig davon kann man zu einer Matrix sowieso kein Skalar addieren, wie Brummbär es machen wollte; egal ob eine $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ -Matrix nun ein Skalar ist, oder nicht.
20.10.2013, 22:44	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist bisher nie begegnet, dass jemand einen Unterschied zwischen einer 1x1-Matrix und einem Skalar machte; ich habe eher ähnliche Erfahrungen wie Nick gemacht. Insofern entschuldige ich mich, wenn meine Aussage formal nicht korrekt war, aber ich zumindest kam noch nie in eine Situation, in der es geschadet hätte, eine 1x1-Matrix als einen Skalar zu betrachten. Vielleicht wäre es hilfreich zu wissen, weshalb Brummbär diese Frage gestellt hat. Wenn er nur eine Vorstellung davon wollte, was eine 1x1-Matrix ist, ist "(Im Prinzip) Ein Skalar" meiner Meinung nach eine passable Antwort - oder nicht? Wie würdest du, Iorek, denn seine Frage beantworten?
20.10.2013, 22:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Skalar bzw. in diesem Kontext Körperelement, hat nunmal ganz andere Eigenschaften als eine 1x1-Matrix. Sowohl $\begin{eqnarray} 1+\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man nicht berechnen, betrachtet man das mit der Multiplikation wird das aber schon etwas anderes. $\begin{eqnarray} 1\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist kein Problem, bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sieht das anders aus. Es handelt sich somit bei $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zunächst mal um völlig verschiedene Objekte aus verschiedenen mathematischen Strukturen.
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21.10.2013, 00:15	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal ist ja eine $\begin{eqnarray} m\times n \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} A=\left(a_{ij}\right)_{\stackrel{i=1, ..., m}{j=1, ..., n}} \end{eqnarray}$ über den reellen Zahlen eine Abbildung $\begin{eqnarray} A:\{1, ..., m\}\times\{1, ..., n\}\to\mathbb{R}, (i,j)\mapsto a_{ij}. \end{eqnarray}$ Ein Skalar ist da also ein Element der reellen Zahlen, eine (1x1)-Matrix ist jedoch eine Abbildung $\begin{eqnarray} A: (1,1)\to\mathbb{R}. \end{eqnarray}$ Genauso ist auch ein Vektor aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ nicht das selbe wie eine $\begin{eqnarray} n\times 1 \end{eqnarray}$ - bzw. $\begin{eqnarray} 1\times n \end{eqnarray}$ -Matrix.
22.10.2013, 10:41	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch formaler ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^n := \underbrace{\mathbb R\times\cdots\times\mathbb R}_{\text{n mal}} \end{eqnarray}$ nur ein kartesisches Produkt ohne Struktur, die Elemente sind n-Tupel $\begin{eqnarray} (a_1,a_2,\cdots,a_n), a_i\in \mathbb R\; . \end{eqnarray}$ Dieser Raum wird erst dadurch auch ein Vektorraum, indem man die übliche Addition $\begin{eqnarray} +:\mathbb R^n \times\mathbb R^n \rightarrow\mathbb R^n, ((a_1,a_2,\cdots,a_n), (b_1,b_2,\cdots,b_n)) \mapsto (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) \end{eqnarray}$ und skalare Multiplikation $\begin{eqnarray} .:\mathbb R \times\mathbb R^n \rightarrow\mathbb R^n,(s,(a_1,a_2,\cdots,a_n)) \mapsto (s a_1,s a_2,\cdots,s a_n) \end{eqnarray}$ auf diesem Raum der n-Tupel definiert.

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