komplexe Zahlen, Exponentialform

20.10.2013, 12:31

Duinne

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komplexe Zahlen, Exponentialform

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit komplexen Zahlen. Und zwar sollen folgende Gleichungen in exponentieller Form dargestellt werden:

a) $\begin{eqnarray*} z=j+\frac{1+j}{3+j} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z=\left(1-j\right) ^{6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beide Gleichungen sind in der Normalform dargestellt, denke ich zumindest. Von dort aus müsste man in die trigonometrische Form.
Dazu gehört diese Formel:

$\begin{eqnarray*} z=x+jy=r\cdot cos phi+j\cdot r\cdot sinphi \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} e^{jphi}=cosphi+j\cdot sinphi \end{eqnarray*}$

Aber ich finde irgendwie keinen Ansatz.
Kann mir hierbei jemand helfen?

Danke und Gruß
Duinne

20.10.2013, 12:55

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

zua)

hier muß Du zuerst den Nenner mit 3-j erweitern und dann alles zusamenfassen.

Zub)

das kannst Du zuerst schnell ausmultiplizieren und vereinfachen.

20.10.2013, 13:02

Guppi12

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Hallo,

kleiner Einwurf, danach bin ich wieder raus:

Ich würde b) nichtl ausmultiplizieren. Hat man $\begin{eqnarray*} r,\phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1-j = re^{i\phi} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} (1-j)^6 = r^6e^{i\cdot 6\phi} \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 13:12

grosserloewe

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Wink

ja klar, viele Wege führen nach Rom, kann beides getan werden, suche es Dir aus.

smile

smile

20.10.2013, 13:29

Duinne

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komplexe Zahlen, Exponentialform
zu a) wenn ich mit 3-j erweitere komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{3+2j-j^{2} }{9+6j-j^{2} } \end{eqnarray*}$

Das sieht jetzt irgendwie noch komplizierter aus. Die $\begin{eqnarray*} -j^{2} \end{eqnarray*}$ können noch entfallen oder?

zu b) Sollte man r noch ausrechnen? Oder wäre das nicht im Sinne der Aufgabe. Theoretisch müssten dann das dann

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2} \right) ^{6} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal für die Antworten!

20.10.2013, 13:31

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Was ist j^2 ?

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20.10.2013, 13:45

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Mein Ergebnis zu a wäre jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{3+2j-j^{2} }{9+6j-j^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

20.10.2013, 13:46

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
sorry, das wäre mein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{3+3j-j^{2} }{9+6j-j^{2} } \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 13:51

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} j^{2} =-1 \end{eqnarray*}$ ist die imaginäre Einheit.

Das solltest Du kennen ??
Schauh mal in Deine Unterlagen.

20.10.2013, 13:56

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Mh, hier steht, dass j die imaginäre Einheit ist. Aber nicht, dass j^2 0 -1 ist.
Warum ist das so?

20.10.2013, 13:59

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Schauh mal hier bitte,

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

20.10.2013, 14:45

Nubler

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform

Zitat:

Original von Duinne
sorry, das wäre mein Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{3+3j-j^{2} }{9+6j-j^{2} } \end{eqnarray*}$

schritt für schritt bitte

20.10.2013, 14:51

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

ja klar . wäre dann sowieso gekommen , aber er soll erstmal nachschauen.

20.10.2013, 15:53

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Er ist eine Sie.
Und jetzt bin ich bei folgendem Ergebnis:

0,4+0,3j

Korrekt?

20.10.2013, 16:04

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Sorry ich konnte nicht wissen , was für ein Geschlecht.

Dein Ergebnis ist falsch.

Um den Fehler zu finden , schreibe bitte Deinen Rechenweg.

20.10.2013, 16:16

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
$\begin{eqnarray*} z=j+\frac{\left(1+5\right)\left(3-j\right) }{\left(3+j\right)\left(3-j\right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =j+\frac{3-1j+3j-j^{2} }{9-3j+3j-j^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =j+\frac{3+2j+1}{9+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4+3j}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{10}+\frac{3}{10}j \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 16:27

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

2 Sachen

denke die 5 ist nur ein Schreibfehler.

Das j kann nicht einfach so reinaddiert werden, das muß Ausdruck für Audruck passieren.

richtig ist:

$\begin{eqnarray*} j + \frac{4+2j}{10} \end{eqnarray*}$

also :

$\begin{eqnarray*} j + \frac{4}{10} + \frac{2j}{10} \end{eqnarray*}$

Dann muß nur noch zusammengefasst werden.

20.10.2013, 16:48

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
$\begin{eqnarray*} =\frac{10j}{10}+\frac{4}{10}+\frac{2j}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{12j}{10}+\frac{4}{10} \end{eqnarray*}$

Macht:

=0,4+1,2j

20.10.2013, 16:49

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Stimmt, gut bis jetzt.

20.10.2013, 16:53

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Dankeschön =) Danke für die Geduld vor allem...
Als nächstes muss ich den Betrag von z ausrechnen, um r zu erhalten. Und danach den Winkel phi ausrechnen.

20.10.2013, 16:56

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

So ist es. Naja hier regnet es, dann mache ich lieber Mathe.

smile

smile

20.10.2013, 17:02

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\left(0,4\right) ^{2}+\left(1,2\right) ^{2} }=\frac{2\sqrt{10} }{5}=1,26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha =arctan \left(\frac{1,2}{0,4}=1,25 \right) \end{eqnarray*}$

Taschenrechner steht auf RAD.

$\begin{eqnarray*} z= \left(cos1,25+j\cdot sin1,25\right)=1,26\cdot e^{j\cdot 1,25} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis.

Das Wetter ist heute wirklich nicht so doll.

20.10.2013, 17:12

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Hier ist jetzt auch meine Lösung zur 2. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{1^{2}+\left(-1\right) ^{2}=\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha =arctan 1=\frac{1}{4}\pi=0,79 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left(\sqrt{2} \right) ^{6} \cdot e^{j\cdot 6\cdot 0,79} \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 17:13

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} z = r *e^{j\alpha } \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet dann:

$\begin{eqnarray*} 1.26 e^{j71.5 °} \end{eqnarray*}$

PS. Die goniometrische Form mit Sinus und Cosinus brauchst Du hier nicht.

20.10.2013, 17:17

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Seltsam, in meinem Papula steht das ganze nochmal mit dem Bogenmaß drin. Die haben sowohl die Gradzahl genommen als auch das Maß.
Nungut, ist ja nur die Umstellung auf dem Taschenrechner.

20.10.2013, 17:20

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

Ja , da jeder einen anderen Rechner mit anderer Bedienung hat, kann ich hierzu nichts sagen, aber mein Ergebnis stimmt.

Die 2. Aufgabe schaue ich mir sofort an.

20.10.2013, 17:30

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wenn ich meinen auf DEG umstelle, komme ich auch auf die 71,57°.

Keine Hektik, ich bedanke mich schon mal für die tolle Unterstützung!

20.10.2013, 17:43

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

2. Aufgabe:

Wenn Du mein Weg gehen willst:

$\begin{eqnarray*} (1-j)^6= (1-j)^2 *(1-j)^2 *(1-j)^2 \end{eqnarray*}$

= 8j ; Winkel = 90°

daruas folgt:

$\begin{eqnarray*} r= 8 *e^{j90°} \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 17:59

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wie kommst du denn auf die 90°?

20.10.2013, 18:10

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} tan \alpha =\frac{Im(z)}{Re(z)} =\frac{8}{0} =\infty \end{eqnarray*}$
->nicht definiert.

Also :

$\begin{eqnarray*} \alpha =90° \end{eqnarray*}$

Du kannst Dir das über die Gaußsche Zahlenebene auch zeichnerisch klarmachen,
inden Du dann 8j einzeichnest und Dir klar machst ,in welchem Quadranten das liegt. das das 90° sein muß.

Oder Du kannst das selbst über die goniometrische Darstellung durch Einsetzen probieren:

$\begin{eqnarray*} r= 8( \cos90° +j sin90°)= 8j \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 19:02

Duinne

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Oh, ich sehe es!
Prima!

Dann habe ich jetzt meine zwei Aufgaben.

Ich danke dir nochmals für deine tolle Hilfe und deine Zeit!
Und ich wünsche dir noch einen schönen Restabend!

Liebe Grüße
Duinne

20.10.2013, 19:16

grosserloewe

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RE: komplexe Zahlen, Exponentialform
Wink

Wink

ja sorry noch für die falsche Anrede .

smile

smile

Gleiches wünsche ich Dir . Gern doch.

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