Kartesisches Produkt

20.10.2013, 13:31	Mia.9	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartesisches Produkt Edit(Helferlein): Überschrift geändert. "Zeigen Sie..." sagt nicht wirklich viel über die Frage aus. Meine Frage: Zwei Mengen A,B heißen disjunkt, wenn $\begin{eqnarray} A\cap B=\otimes \end{eqnarray}$ (ich hoffe, dass es das richtige Zeichen für eine leere Menge ist) ist. Seien X und Y Mengen mit je mindestens zwei Elementen, sowie $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Elemente von X. Zeigen Sie: a) $\begin{eqnarray} {x_{1}} \times Y \end{eqnarray}$ ist eine Untermenge von $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} {x_{1}} \times Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {x_{2}} \times Y \end{eqnarray}$ sind disjunkt. c) $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ ist die Vereinigung aller Mengen $\begin{eqnarray} {x} \times Y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ . d) Aus $\begin{eqnarray} X \times Y = Y \times X \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} X = Y \end{eqnarray}$ . Ich habe grundsätzliche keine Probleme damit, das zu verstehen und die Logik darin zu erkennen, allerdings fehlt mir noch die Fähigkeit die Ergebnisse sinnvoll zu ordnen und auf zu schreiben. Ich bitte daher um eine kleine Unterstützung. Meine Ideen: a) Es gilt $\begin{eqnarray} x_{1} \in X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1} \end{eqnarray}$ ist eine Untermenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ gilt, ist $\begin{eqnarray} x_{1} \times Y \end{eqnarray}$ eine Untermenge von $\begin{eqnarray} X \times Y \end{eqnarray}$ . -> vollständig, nachvollziehbar, richtig? b) Ich muss prüfen, ob der Durchschnitt von den Funktionen $\begin{eqnarray} x_{1} \times Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \times Y \end{eqnarray}$ leer ist, denn das bedeutet, dass >keine Schnittmenge< (disjunkt) vorhanden ist [das Nähste wäre eine Berührung, aber danach ist nicht gefragt]. Ich bin mir zu Zeit noch unsicher ob es sich überhaupt um Funktionen handelt und nicht etwa um Funktionsbereiche, aber das macht es noch viel schwieriger. Wie beginne ich die Aufgabe am besten? c) Es ist ja irgendwie logisch, dass wenn $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ gilt, dass dann alle x als Teilmenge von X (praktisch die allgemeinere "Vorstufe" von $\begin{eqnarray} id_{x} \end{eqnarray}$ ) in X vereinigt werden und somit die Behauptung gilt. -> Auch hier wieder: Ich würde gern schreiben lernen. d) Diese mathematische Operation müsste dem Kommutativgesetz unterliegen, demnach gilt: $\begin{eqnarray} a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray}$ demnach sind a und b identischen Wertes. Es gilt also: Aus $\begin{eqnarray} X \times Y = Y \times X folgt X = Y \end{eqnarray}$ .
20.10.2013, 14:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen Sie: ... Nur eine Anmerkung: Die Bezeichnung für "leere Menge" ist \emptyset, wie der Name schon nahelegt: $\begin{eqnarray} A\cap B = \emptyset \end{eqnarray}$ Bin schon wieder weg.
20.10.2013, 17:01	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) zwei Dinge: 1.Ich würde die Menge, die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ enthält, etwas formaler definieren. Weil du $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ als Element definierst, kann es keine Untermenge sein. Definiere also $\begin{eqnarray} X_1:=\{x\|x=x_1\} \end{eqnarray}$ und verwende diese Menge. Die ist dann effektiv eine Teilmenge von X. Ziehst du dann die Definition der Produktmenge heran, kannst du auch die geforderte Relation leicht beweisen. 2. ich tendiere eher zu formalen Beweisen, dein Beweis ist mir persönlich etwas zu frei... Zu b) Schreib mal die formale Definition des Schnittes dieser beiden Mengen hin. Es ergibt sich sofort ein Widerspruch, der dazu führt, dass die Menge leer ist zu c) Wenn du alle Mengen $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_n=\{x\|x=x_n\} \end{eqnarray}$ betrachtest und dann deren Vereinigung bildest, solltest du mit diesen zwei Definitionen auskommen zu d) Das Produkt von Mengen ist i.d.R. eben nicht kommutativ. Verwende hier die Definition der Produktmenge, um weiterzukommen Lg kgv
20.10.2013, 17:48	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kartesisches Produkt @Mia Dir scheint nicht ganz klar zu sein, was $\begin{eqnarray} X\times Y \end{eqnarray}$ bedeutet. Das $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ ist keine Operation wie eine Multiplikation o.ä.. Es ist stattdessen $\begin{eqnarray} X\times Y := \{(x,y)\|x\in X, y\in Y\} \end{eqnarray}$ also die Menge aller möglichen Paare $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in Y\; . \end{eqnarray}$ Jetzt erkennst du hoffentlich auch deinen Denkfehler in d).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »