Verständnisfragen

20.10.2013, 14:02

abdul95

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Verständnisfragen

Frage:

An welchen Zahlen erkenne ich, ob es sich um ein Tief und EIn Hochpunkt handelt

An welche Zahlen erkenne ich ob es sich um ein Sattelpunkt handelt

An welche Zahlen erkenne ich ob es sich um eine Rechtslinks Krümmung oder um eine LRK ist

Funktion lautet:

f(x)=x^3-9x^2+15x-7

f'(x)=3x^2-18x+15
f"(x)=6x-18
f"'(x)=6

Extrempunkt berechnen:

Bedingung:

f'(x)=0

0=3x^2-18x+15
0=x^2-6x+5 (Pq angewandt)

x1=1
x2=5 (extremverdächtige Stellen)

hinreichende B.:

f"(x) ungleich 0

f"(x)=6x-18
6*1-18=-12 ungleich 0

6*5-18=12 ungleich 0

y-Wert herauskriegen durch einsetzen in der Ausgangsfunktion:

f(x)=x^3-9x^2+15x-7
f(1)=1^3-9*1^2+15*1-7=0

(1/0)
und das gleiche mit x=5
(5/-32)

Habe jetzt die 2 Werte (1/0) und (5/-32)

Was ist da der T und H?

Schaue ich auf den y-Wert? <0=H >0=T?

WENDEPUNKT:

BEd.:

f"(x)=0^ f'"(x) ungleich 0

das gleiche Spiel, bekomme dann am Ende

Wst(3/16)

Welche Zahl sagt mir was über die Krümmung aus?

20.10.2013, 14:44

kgV

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Eine Funktion ist dann linksgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung größer als Null ist.
Linkskrümmung heißt, dass der Graph sich dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt bewegt (so ist z.B. die Normalparabel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2, f''(x)=2 \end{eqnarray*}$ durchgehend linksgekrümmt). Wenn du nun an die Normalparabel denkst, und welcher Art die Extremstelle dort ist, kannst du dann ein Gesetz formulieren, bei welcher Krümmung Hoch-bzw. Tiefpunkte vorliegen? smile

smile

Ein Hinweis dazu: ist die zweite Ableitung Null, hast du einen Sattelpunkt

Lg
kgV
Wink

Wink

20.10.2013, 14:49

abdul95

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Kônntest du oder ein andere mir erklaren woe man diese berechnet bzw herausbrkommt komme durcheinandet

a) Ausnahmestellen/Definitionsluckrn

b) Polstellen

c)Lücke

20.10.2013, 14:52

abdul95

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wenn ihre zweite Ableitung größer als Null ist.

schaue ich mir zahl von der hinreichende oder notwendige bedingung da an?

20.10.2013, 15:00

kgV

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Zitat:

wenn ihre zweite Ableitung größer als Null ist.

Was ist dann? Ich kann keinen Zusammenhang finden... verwirrt

verwirrt

Du musst den Wert der zweiten Ableitung bestimmen: ist er größer als Null, so tritt Fall a ein (welcher denn? ), ist sie kleiner als Null, dann tritt Fall B ein, ist sie Null, so hast du Fall c, einen Sattelpunkt.

Zu deinen Fragen:
a)Definitionslücken sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, sei es durch Division durch Null, durch Null hinter einem Logarithmus oder ähnliches

b)Polstellen sind alle Nullstellen des Nenners, die keine Nullstellen des Zählers sind

c)Was genau meinst du mit Lücke? In welchem Kontext taucht das auf?

20.10.2013, 15:11

abdul95

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Bsp habe ich bei der hinreixhende Bedingung(Extrepunkt)

-12 ungleich 0 raus, dann ist es ein Hochpunkt

wenn ich dort +5 raus hane ein T?

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20.10.2013, 15:37

kgV

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Ja, so stimmt die Entscheidungsregel Freude

Freude

20.10.2013, 16:01

abdul95

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verstanden und wenns um Krummungsverhalten geht da brauche ich den Wendepunkt:

wenn ich bei der hinreichende Bed.:

6 ungleich 0 bekomme

der wert ist grosser als 0 also linkskurve?

und kleiner 0 eine rechtskurve bzw rexhtskrummung?

20.10.2013, 16:07

kgV

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Wenn es um die Krümmung geht, dann betrachten wir die zweite Ableitung: für $\begin{eqnarray*} f''(x)>0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion linksgekrümmt, ist $\begin{eqnarray*} f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Funktion rechtsgekrümmt, $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ verrät uns die Kandidaten für die Wendepunkte

Wenn für die Wendepunktkandidaten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ noch gilt $\begin{eqnarray*} f'''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Punkt ein Wendepunkt. Es ist hierbei egal, ob der Wert positiv oder negativ ist, er darf nur nicht Null sein (wobei es auch da einige Ausnahmen gibt, z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$ , die für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einen Wendepunkt hat, auch wenn die dritte Ableitung für x=0 null wird. Hier musst du einfach die Vorzeichen links und rechts des Punktes betrachten, also z.B. für -0.01 und 0.01)

20.10.2013, 16:11

abdul95

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bsp.

f"(x)=6x-18
ergibt

3=x

somit, istbes grosser als 0 und damit : Linkskruemmung?

(das heisst ich schau mir nur die Zahl der notwendige Bedingung an?)

20.10.2013, 16:18

kgV

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Oha, nein, so war das nicht gemeint... geschockt

geschockt

x=3 ist dein Kandidat für einen Wendepunkt. Durch Einsetzen in die dritte Ableitung kannst du das bestätigen. Willst du jedoch über die Krümmung entscheiden, musst du dir die Funktionswerte anschauen. Wenn du meinen letzten Post betrachtest, siehst du, dass ich von $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ spreche und nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Du musst die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 6x-18>0 \end{eqnarray*}$ lösen, um die Linkskrümmungsintervalle zu bekommen. Als Ergebnis bekommst du $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ heraus. Das bedeutet, dass die Funktion für alle x, die größer als drei sind, linksgekrümmt ist. Der Graph ist also rechts von der Stelle x=3 linksgekrümmt.

Analog löst du $\begin{eqnarray*} 6x-18<0 \end{eqnarray*}$ und bekommst das Intervall $\begin{eqnarray*} (\infty, 3[ \end{eqnarray*}$ als Lösung, d.h. für x-Werte kleiner als drei, also links der Stelle x=3 ist die Funktion rechtsgekrümmt

20.10.2013, 16:33

abdul95

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f"(x)= 6x-18
f"'(x)=6

3=x

hin. Be.:

f"'(3)=6 ungleich 0

>0=linksgekruemmt

geht das so?

20.10.2013, 16:38

kgV

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Zitat:

f"(x)= 6x-18
f"'(x)=6

3=x

hin. Be.:

f"'(3)=6 ungleich 0
Bis hierher passt alles
>0=linksgekruemmt
Nein! Lies meinen letzten Post nochmal aufmerksam durch... Ich habe dir das Ganze doch vorgerechnet... Du darst NICHT die x-Werte betrachten, sondern die f(x) oder y-Werte der zweiten Ableitung. Die dritte brauchst du nur, um den Wendepunkt abzusichern

20.10.2013, 16:42

abdul95

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was waere den mein y wert an diesem bsp? welcher wert

20.10.2013, 16:49

kgV

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Nicht welcher Wert, alle Werte... Krümmung untersucht man i.d.R. intervallweise, nur sehr selten an einzelnen Punkten.

Die Krümmung einer Funktion an einem Punkt ist seine zweite Ableitung (die zweite Ableitung der Funktion an seiner Stelle). Ist dieser Wert positiv, ist die Funktion an dieser Stelle linksgekrümmt, ist er negativ, ist sie rechtsgekrümmt, ist er null, liegt ein Wendepunkt vor, wenn zusätzlich noch die dritte Ableitung ungleich null ist.

Ich zitiere mich:

Zitat:

Original von kgV
Du musst die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 6x-18>0 \end{eqnarray*}$ lösen, um die Linkskrümmungsintervalle zu bekommen. Als Ergebnis bekommst du $\begin{eqnarray*} x>3 \end{eqnarray*}$ heraus. Das bedeutet, dass die Funktion für alle x, die größer als drei sind, linksgekrümmt ist. Der Graph ist also rechts von der Stelle x=3 linksgekrümmt.

Analog löst du $\begin{eqnarray*} 6x-18<0 \end{eqnarray*}$ und bekommst das Intervall $\begin{eqnarray*} (\infty, 3[ \end{eqnarray*}$ als Lösung, d.h. für x-Werte kleiner als drei, also links der Stelle x=3 ist die Funktion rechtsgekrümmt

Das heißt nichts anderes, als dass die Funktion für $\begin{eqnarray*} x=2, x=1.5, x=0.3, x=-22.984,33 \end{eqnarray*}$ oder jeden anderen Wert kleiner als 3 rechtsgekrümmt ist und für $\begin{eqnarray*} x=3,1, x=4, x=25 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=44.500 \end{eqnarray*}$ und alle Werte größer als 3 linksgekrümmt.

Ist das verständlicher? smile

smile

20.10.2013, 17:18

abdul95

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der wert von f``` an der stelle sagt dir nur was über den krümmungswechsel aus (von rechts nach links in dem fall)

ist die Aussage also falsch?

20.10.2013, 17:25

kgV

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Wie kommst du jetzt darauf? In welchem Kontext kommt diese Aussage vor?

Prinzipiell sagt dir der Wert der dritten Ableitung eines Wendepunkts nur, ob du davor Links- und danach Rechtskrümmung( $\begin{eqnarray*} f'''(x)<0 \end{eqnarray*}$ ) hast oder davor Rechts- und danach Linkskrümmung ( $\begin{eqnarray*} f'''(x)>0 \end{eqnarray*}$ )

20.10.2013, 17:27

abdul95

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hast oder davor Rechts- und danach Linkskrümmung

genau das will ich doch smile

smile

20.10.2013, 17:30

kgV

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Sag das doch gleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Aussagen darüber, dass der Wert der dritten Ableitung am Wendepunkt dir die Krümmung der gesamten Funktion verraten würde, hat mich doch ziemlich von deiner eigentlichen Frage abgelenkt...

Ist damit dann alles klar? smile

smile

20.10.2013, 17:33

abdul95

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hehe aber jetzt habe ich es drauf erstmal dankeeeeee smile

smile

gebrochen tlratioale Fkt;

a) Ausnahmestellen sind doch Definitioslucken korrekt?

b) Ausnahmestellen, da schaut man sich NUR den Nenner der Fkt an und schaut welche Zahlen 0 ergeben durch einsetzen von 0 , korrekt?

20.10.2013, 17:40

kgV

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a) ja, die beiden Worte dürften Synonyme sein. Ich verwende zwar nur das Wort Definitionslücke, Ausnahmestelle dürfte von der Bedeutung aber hinkommen

b) Ja, man betrachtet nur den Nenner. Aber man setzt nicht null ein, sondern mit Null gleich. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x^2+3x+2} \end{eqnarray*}$ Hier setzt du den Nenner mit Null gleich, also $\begin{eqnarray*} x^2+3x+2=0 \end{eqnarray*}$ Durch die pq-Formel oder andere Lösungsmethoden bekommst du $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$ als Lösung dieser Gleichung, demnach sind -1 und -2 deine Definitionslücken

20.10.2013, 17:44

abdul95

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perfektes Bsp danke wie bekommr ich a raus ich weiss das ich wieder den nenner term ansehen muss

20.10.2013, 17:47

kgV

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Zitat:

perfektes Bsp danke wie bekommr ich a raus ich weiss das ich wieder den nenner term ansehen muss

Erstaunt1

Erstaunt2

verwirrt

Ich kann den Sinn dieser Frage beim besten Willen nicht ergründen... Würdest du dich bitte etwas deutlicher (und orthographisch korrekter) ausdrücken? Welches a meinst du?

20.10.2013, 17:47

abdul95

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sry verwirrt

meine woe lost man in deiner bsp aufgabe

"polstelle und das verhaltem der funktionswerte in ihre nahe aus"

besonders: wie bekomme ich die polstelle her

20.10.2013, 17:50

kgV

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Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, wie oben beschrieben... Für das Verhalten der Funktion in ihrer Nähe einfach die links- und rechtsseitigen Grenzwerte betrachten smile

smile

Und bitte achte auf die Rechtschreibung., es ist sehr anstrengend, dein Geschreibse zu entziffern

20.10.2013, 17:52

abdul95

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Sorry bin mit dem Handy on smile

smile

aber Ausnahmestellen ist doch nicht das Gleiche wie Polstellen oder doch? :s

20.10.2013, 17:55

kgV

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Für gebrochen-rationale Funktionen kommt es auf dasselbe hinaus, wenn die Definitionslücke nicht zugleich noch eine Nullstelle des Zählers ist - das war hier der Fall, allgemein gilt das natürlich nicht zwingend, da hast du schon recht. Hier sind es aber alle Nullstellen des Nenners.

Zitat:

Definition (Polstelle) : Alle Nullstellen des Nenners, die keine Nullstellen des Zählers sind, heißen Polstellen

20.10.2013, 17:59

abdul95

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Bsp

(x-5)/(x-5)(x-6)

Hier gibtbes ja keine NST da Nenner und Zaehler +5 sind aber es gibt eine Ausnahmestelle in 6 und 5 wie lautet die Polstelle?

20.10.2013, 18:01

kgV

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Es gibt keine Nullstelle, richtig Freude

Freude

5 und 6 sind Ausnahmestellen, auch richtig Freude

Freude

Wenn du dir meine Definition der Polstellen im vorigen Post anschaust, solltest du eigentlich alleine bestimmen können, welche der beiden Stellen als Polstelle nicht in Betracht kommt: für welchen Wert werden sowohl Nenner als auch Zähler null?

edit: leider muss ich für inzwischen Schluss machen, weil ich essen gehen muss. Ich kann auch nicht versprechen, dass ich heute noch mal reinschaue, da mir noch eine längere Zugfahrt bevorsteht. Schönen Abend noch

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