Kombinatorik 2n+1

20.10.2013, 15:44

honeyKISS

Kombinatorik 2n+1

Auf wie viele Arten können 2n+1 Euro auf drei Personen P1,P2,P3 verteilt werden, sodass
(1) P1 mehr erhält als P2 und P3 zusammen
(2) je zwei Personen zusammen stehts mehr erhalten als die verbleibende dritte Person?

Hinweis: Es werden nur ganzzahlige Beträge vergeben.

Leider finde ich keinen Ansatz kann mir jemand helfen?

20.10.2013, 15:47

HAL 9000

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RE: Kombinatorik 2n+1

Zitat:

Original von honeyKISS
(1) P1 mehr erhält als P2 und P3 zusammen
(2) je zwei Personen zusammen stehts mehr erhalten als die verbleibende dritte Person?

Das sind also zwei getrennte Aufgaben statt zwei gemeinsame Bedingungen für eine Aufgabe? Denn die beiden widersprechen sich ja offensichtlich, wenn sie zu einer Aufgabe gehören würden. verwirrt

Das hättest du ein wenig besser herausstellen können!

20.10.2013, 15:49

honeyKISS

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RE: Kombinatorik 2n+1
Ja sind zwei getrennte Aufgabenteile

20.10.2013, 15:57

HAL 9000

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Nun ja, das ganze ist allem Anschein nach so gedacht, dass man zuerst (1) löst, denn dann ist (2) nur eine einfache Folgerung.

Hinweis: Bei (1) sucht man die Anzahl aller Paare $\begin{eqnarray*} (P_2,P_3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_2+P_3\leq n \end{eqnarray*}$ . Zu dieser Anzahlberechnung könnten Kombinationen mit Wiederholung (Abschnitt: Mengendarstellung) sich als äußerst hilfreich erweisen.

20.10.2013, 16:02

honeyKISS

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Aber wieso muss P2+P3< n sein?

20.10.2013, 16:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von honeyKISS
Aber wieso muss P2+P3< n sein?

Muss es ja gar nicht, ich hatte von P2+P3 < n gesprochen, d.h. der Gleichheitsfall P2+P3 = n gehört auch noch dazu. Also bitte in Zukunft nicht mehr die Aussagen inhaltlich verfälschen, das ist etwas, was ich gar nicht leiden kann. unglücklich

-----------------------

Die Forderung $\begin{eqnarray*} P_1 > P_2+P_3 \end{eqnarray*}$ der Aufgabenstellung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} P_1+P_2+P_3 > 2(P_2+P_3) \end{eqnarray*}$ , was zusammen mit $\begin{eqnarray*} P_1+P_2+P_3 = 2n+1 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} P_2+P_3 < n + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

führt, was wegen der Ganzzahligkeit von $\begin{eqnarray*} P_2,P_3 \end{eqnarray*}$ wiederum dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} P_2+P_3 \leq n \end{eqnarray*}$ .

20.10.2013, 19:32

honeyKISS

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ja jetzt habe ich es verstanden hilft mir aber nicht beim zweiten Teil da habe ich ja
P+P>P
und P1+P2+P2= 2n+1
aber mehr Bedingungen habe ich ja nicht gegeben

20.10.2013, 22:22

HAL 9000

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(1) hilft sehr wohl bei (2):

Das Gegenteil der Bedingungen von (2) ist nämlich folgendes: Es gilt P1>P2+P3 oder P2>P1+P3 oder P3>P1+P2. Wegen der Symmetrie des Problems muss man also nur die dreifache Anzahl von (1) von der Gesamtanzahl aller Euro-Verteilungen (P1,P2,P3) abziehen. Und auch bei jener Gesamtzahl helfen die o.g. "Kombinationen mit Wiederholung", nur mit anderen Parameterwerten.

P.S.: Irgendwelche "Gleichstände" sind wegen der ungeraden Gesamtsumme unmöglich, d.h. es gilt stets P1>P2+P3 oder P1<P2+P3, aber niemals P1=P2+P3.

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