Zeigen Sie, dass die dritte Wurzel aus 3 irrational ist

20.10.2013, 17:18

adiv0

Zeigen Sie, dass die dritte Wurzel aus 3 irrational ist

Hallo, komme einfach nicht weiter und hoffe auf eure Hilfe.

Meine bisherige Rechnung (Indirekter Beweis):

$\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{3} } = \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Wir nehmen also an, dass wir eine rationale Zahl haben. Rationale Zahlen sind als Bruch darstellbar, deswegen gilt der Term oben. Wir nehmen auch an, dass der Bruch x/y vollständig gekürzt ist.

Durch Umformung folgt:

$\begin{eqnarray*} 3y³ = x³ \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass y und x nicht beide gerade sein dürfen, da man sonst kürzen könnte.

Schonmal jetzt vielen Dank.
MfG

20.10.2013, 17:54

Elvis

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Ich weiß, dass 3 kein Teiler von x und y sein darf, da man sonst kürzen könnte.

20.10.2013, 18:27

micha_L

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Hallo,

sehr vermutlich habt ihr den Beweis in der Vorlesung gehabt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ irrational ist.
Daran kannst du dich orientieren! Was kam den nach der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ ?

Mfg Michael

20.10.2013, 18:38

adiv0

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@Elvis:
Danke, aber das bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich weiss ja auch dass 2 oder 4 oder 626 kein gemeinsamer Teiler von x und y sein darf. Angenommen ich hätte den Bruch 9/7. Nenner und Zähler sind ungerade und haben keinen gemeinsamen Teiler. Oder z.b. 3/30. Nenner ist ungerade, Zähler gerade und trotzdem gibt es einen gemeinsamen Teiler. Es gibt also irgendwie immer Beispiele wo man kürzen kann und welche wo das nicht geht. Nur bei Nenner gerade und Zähler gerade bin ich mir sicher, dass immer gekürzt werden kann. Wo liegt mein Denkfehler?

@micha_L
Danke dir. Wie man beweist das Wurzel aus 2 irrational ist, habe ich verstanden (hatten wir nicht in der Vorlesung, musste es mir selber beibringen). Da sieht man, dass p gerade sein muss. Sprich es gilt p=2n. Wenn man das in deine Gleichung einsetzt, dann sieht man, dass auch q gerade sein muss. Das ist ein Widerspruch zur Annahme... Somit ist bewiesen dass Wurzel 2 irrational ist. Aber bei der dritten Wurzel aus 3 ist das ja nicht so. Mein Problem steht im obigen Text.

20.10.2013, 19:04

Lithiesque

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Zitat:

Original von adiv0
Da sieht man, dass p gerade sein muss.

Man könnte etwas allgemeiner sagen, aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Was folgt dann wohl aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=3y^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2013, 21:23

adiv0

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Instinktiv würde ich jetzt sagen, dass x durch 3 teilbar ist, kann dies aber nicht nachvollziehen, denn:
Angenommen y = 2, dann wäre x = dritte wurzel aus 24. Und das ist ja nicht durch 3 teilbar...
Eine Erklärung wäre sehr hilfreich.

20.10.2013, 22:07

Lithiesque

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Damit $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl ist, muss o.E. $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z}, y\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sein. Damit folgt nach Definition von Teilbarkeit aus $\begin{eqnarray*} x^3=3y^3 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} 3|x^3 \end{eqnarray*}$ und hieraus $\begin{eqnarray*} 3|x \end{eqnarray*}$ .
Dein Beispiel $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ zeigt lediglich, dass für $\begin{eqnarray*} x \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ gelten kann (da offensichtlich $\begin{eqnarray*} 24^{\frac{1}{3}} \notin\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ) - ansonsten könnte man dasselbe Beispiel auch gegen den angesprochenen Beweis der Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ einwenden. Vielleicht solltest du dir diesen noch einmal genauer anschauen und nachvollziehen.

21.10.2013, 22:41

adiv0

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Habe ich das so richtig verstanden:
x^3=3y^3

x^3 muss durch 3 teilbar sein weil auf der rechten Seitr 3y^3 steht. y^3 ist ja irgendeine natürliche Zahl und eine natürliche Zahl multipliziert mit 3 muss auch durch 3 teilbar sein. Stimmt das?
Da also x^3 durch 3 teilbar ist können wir sagen dass x ein Vielfaches von 3 ist also x=3n. Durch Einsetzen folgt:
(3n)^3 = 3y^3
27n^3 = 3y^3 /: 3
9n^3 = y^3
Hier sieht man dass y auch durch 3 teilbar ist - Widerspruch!

Alles richtig?

22.10.2013, 01:02

Lithiesque

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Zitat:

Original von adiv0
y^3 ist ja irgendeine natürliche Zahl und eine natürliche Zahl multipliziert mit 3 muss auch durch 3 teilbar sein. Stimmt das?

Klar.

Zitat:

Alles richtig?

Ja.

22.10.2013, 12:37

micha_L

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Hallo,

bei

Zitat:

Da also x^3 durch 3 teilbar ist können wir sagen dass x ein Vielfaches von 3 ist [...]

könnte es ein Beweis verlangt werden.

Überprüfe dafür (doch) einfach, ob Kubiken von nicht durch drei teilbaren (ganzen) Zahlen durch drei teilbar sind. MaW: mache eine Fallunterscheidung!

Mfg Michael

22.10.2013, 19:55

adiv0

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@micha_L:
Das verwirrt mich jetzt wieder. Ich habe zum Beispiel 7³ gerechnet und das ist nicht durch 3 teilbar... unglücklich

Also stimmt meine Aussage, dass 3 ein Teiler von x ist ja nicht immer...

23.10.2013, 14:44

Elvis

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Es wird Zeit, die Verwirrungen aufzulösen. Eine ganze Zahl p heißt Primzahl, wenn für ganze Zahlen a und b aus p|ab folgt p|a oder p|b. 3 ist eine Primzahl.

$\begin{eqnarray*} 3y^3=x^3 \Rightarrow 3|x^3\Rightarrow 3|x \Rightarrow 3y^3=3^3z^3 \Rightarrow y^3=3^2z^3 \Rightarrow 3|y^3 \Rightarrow 3|y \end{eqnarray*}$

Bei der 2. und 6. Implikation wird die obige Primzahleigenschaft benutzt.

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