Hilfe bei Bruchgleichung

20.10.2013, 18:20

Am_ateur

Hilfe bei Bruchgleichung

Meine Frage:
Hallöchen,
hab da ein kleines bis größeres Problem beim Lösen folgender Aufgabe:
gegeben ist eine Gleichung mit mehreren Brüchen;

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{3}c^{2}x - \frac{1}{a^{2}} }{2025 a b^{4} c^{3}} - \frac{a^{2}x - \frac{1}{b^{3}c^{2}}}{48 a^{3} b c} + \frac{abcx - \frac{1}{a b^{2}c }}{90 (abc)^{2}} = 0 ; abc \neq 0 \end{eqnarray*}$

und dies soll nach x aufgelöst werden.

Meine Ideen:
Nun ja hatte nun schon lange kein Mathe mehr daher stehe ich etwas auf dem Schlauch.
habe versucht zunächst die ersten beiden Brüche zu betrachten und sie irgendwie auf den selben Nenner zu bringen. Das sah dann irgendwie so aus beim ersten Bruch:
$\begin{eqnarray*} (b^3c^2x - 1/a^2) / (2025 ab^4c^3) * (48a^3bc) / (48a^3bc) \end{eqnarray*}$ sah dann bei mir äußerst merkwürdig aus.
Würde mich über ein paar Hinweise zur Lösung der Aufgabe freuen. Ergebnis ist übrigens 1 / a^2 b^3 c^2

edit von sulo: Latex-Klammern gesetzt, Bruchschreibweise eingeführt.

20.10.2013, 18:48

sulo

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RE: Hilfe bei Bruchgleichung
Die Lösung kann ich bestätigen.

Ich würde zunächst die einzelnen Brüche auseinanderziehen. Trenne die Zähler also auf.

Ordne die Gleichung dann so, dass alle Brüche mit x auf der einen Seite der Gleichung stehen, die Brüche ohne x auf der anderen.

Du wirst viel kürzen können, achte schon drauf, wenn du die Brüche auseinandergezogen hast.

smile

btw: Bist du identisch mit diesem Fragesteller? => Klick.

20.10.2013, 22:32

Am_ateur

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danke schonmal für die hilfe werde das dann erstmal weiter probieren smile

Und ne der andere Fragensteller bin ich nicht aber sieht doch sehr nach dem selben problem aus Augenzwinkern

20.10.2013, 22:33

sulo

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Wie gesagt, Kürzen bringt dich bei dieser Aufgabe schon sehr weit, es wird dann alles doch recht elegant.

smile

21.10.2013, 01:09

AmAtEuR 2.0

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Hallo!

Ich habe es auch mal versucht, komme aber nicht auf das Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{3}c^{2}x}{2025ab^{4}c{3}} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}x}{48a^{3}bc} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{abcx}{90 (abc)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1 * a^{-2}}{2025ab^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1 * b^{-3}c^{-2}}{48a^{3}bc} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1 * a^{-1}b^{-2}c^{-1}}{90 (abc)^{2}} \end{eqnarray*}$

durch kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2025abc} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{x}{48abc} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{x}{90abc} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2025a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{48a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{90a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$

Zähler auf 2025 erweitern

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2025abc} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{42,1875x}{2025abc} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{22,5x}{2025abc} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2025a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{42,1875}{2025a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{22,5}{2025a^{3}b^{4}c^{3}} \end{eqnarray*}$

also ich vermute, dass mir hier irgendwo ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist, finde den aber nicht. verwirrt

Ist es denn sonst soweit richtig ?

21.10.2013, 09:06

sulo

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@AmAtEuR 2.0

Da du nicht der Fragesteller bist, werde ich auf deine Rechnung erst mal nicht eingehen sondern abwarten, ob sich Am_ateur heute meldet, wovon ich ausgehe.
Es ist sein Thread und ich werde natürlich zunächst ihm helfen. Dies sieht auch das Boardprinzip so vor.
Wenn nach Abschluss des Threads noch Fragen sind, kannst du sie gerne stellen.

Falls sich Am_ateur nicht mehr meldet, können wir die Aufgabe morgen besprechen.

smile

edit: Einen Tipp kann ich dir geben, ohne dass ich den Erweiterungsschritt im einzelnen durchgegangen bin (ich habe den HN so gewählt, dass ich ganzzahlige Zähler habe): Ja, du hast einen Vorzeichenfehler gemacht.
Mehr werde ich aber nicht zu deiner Rechnung sagen.

21.10.2013, 09:57

Am_ateur

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Hallöchen

Durch das Kürzen kam ich auf das selbe Ergebnis wie AmAtEuR 2.0.

Ich habe den Nenner allerdings auf 97200 erweitert (keine Ahnung ob es sinnvoll ist)
also habe ich den ersten Bruch mit 48 mal genommen den zweiten mit 2025 und den dritten mit 1080.
Mein Ergebnis:
48x / 97200abc - 2025x / 97200abc + 1080 / 97200abc = 48/ 97200a^3b^4c^3 - 2025/ 97200a^3b^4c^3 + 1080 / 97200 a^3b^4c^3.
Also ich denke auch hier hab ich Vorzeichenfehler gemacht. Ist der Weg denn soweit korrekt?
Lg Augenzwinkern

21.10.2013, 10:33

HAL 9000

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Bei dieser Aufgabe kann man sich in den wildesten Rechnungen ergehen. Oder aber man schaut sich das ganze mal genau an, insbesondere die Struktur der Zähler: Klammert man hier jeweils den Faktor vor dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem gesamten Zähler aus, so entsteht

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{3}c^{2}\left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right)}{2025 a b^{4} c^{3}} - \frac{a^{2}\left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right)}{48 a^{3} b c} + \frac{abc\left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right)}{90 (abc)^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und siehe da, in allen Zählern taucht derselbe Faktor $\begin{eqnarray*} \left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right) \end{eqnarray*}$ auf. Wenn da mal nicht ein Schelm am Werk war bei der Aufgabenerstellung. Augenzwinkern

Dass im weiteren Verlauf sich dann auch noch das Wegkürzen dieser Faktoren derart günstig gestaltet, dass dann nur noch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2025} - \frac{1}{48} + \frac{1}{90} \right) \cdot \frac{1}{abc} \cdot \left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

übrigbleibt, ist dann eher nur noch eine Randnotiz.

21.10.2013, 12:39

sulo

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Zitat:

Original von Am_ateur
Hallöchen smile

Du hast nicht das kgV als Hauptnenner gewählt, dadurch erhältst du recht große Zahlen.
Weiterhin unterscheidet sich deine Rechnung insofern von der von AmAtEuR 2.0, als du keinen Vorzeichenfehler gemacht hast.
Soweit ich es sehe, stimmt die Rechnung, allerdings war mein HN doch kleiner als deiner.

Mach dir keinen Kopf, wenn dein Rechenweg anders aussieht als der von HAL 9000 vorgeschlagene.
Man kann das Distributivgesetz anwenden, es geht aber auch ohne. Und ich denke, auf dem ausführlicheren Weg sind die Umformungen für dich nachvollziehbarer. Augenzwinkern

21.10.2013, 18:31

HAL 9000

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Falls das so rübergekommen ist, als wollte ich andere Rechenwege herabsetzen, dann tut mir das leid. Mein Fokus lag auf

Zitat:

Original von HAL 9000
Und siehe da, in allen Zählern taucht derselbe Faktor $\begin{eqnarray*} \left( x - \frac{1}{a^{2}b^{3}c^{2}} \right) \end{eqnarray*}$ auf. Wenn da mal nicht ein Schelm am Werk war bei der Aufgabenerstellung. Augenzwinkern

Genau, ein Schelm, denn im Regelfall hat man nicht soviel Glück, weswegen der "seröse" Weg des Ausmultiplizierens zwar länger, aber wohl auch bodenständiger in Hinblick auf andere, weniger "konstruierte" Problemstellungen Freude

Allerdings: Wenn man es "sieht", spricht nichts gegen derartige Abkürzungen. Man muss sich nicht schämen, wenn man eines guten Auge wegens weniger rechnen muss als andere.

21.10.2013, 18:45

sulo

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HAL, dein Weg ist natürlich wunderbar. Augenzwinkern

Bei meinen Lösungswegen achte ich meist drauf, dass sie ein Schema besitzen, welches man auf alle ähnlichen Aufgaben übertragen kann.
Entsprechend habe ich mein Vorgehen hier gewählt.

Ich wäre am Ende des Threads noch mal auf deinen Beitrag eingegangen, wollte jedoch jetzt nicht zu viel Gewicht drauf gelegt haben, um die User nicht mit den netten Spielereien, zu denen die Aufgabe ja einlädt, zu verwirren. Augenzwinkern

21.10.2013, 19:06

Am_ateur

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Hey,
vielen Dank für die Hilfe. Konnte die Aufgabe nun endlich lösen smile

21.10.2013, 19:11

sulo

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Das freut mich. Freude

Falls es noch von anderer Seite Fragen zu der Aufgabe gibt, können sie nun besprochen werden.

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