Gleichung mit Wurzeln im Bruch auflösen

20.10.2013, 20:18

Heidjer

Gleichung mit Wurzeln im Bruch auflösen

Hallo liebe Leute,

ich kämpfe mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{(\frac{2}{5})^{2x+1} } }{\sqrt[5]{(\frac{24}{9})^{x-1} } } = \sqrt{(\frac{3}{4})^{x} } \end{eqnarray*}$ Der Term rechts vom Gleichzeichen soll heißen "Wurzel von Drei Viertel hoch x". Irgendwie bekomme ich das mit dem Formeleditor nicht richtig hin.

Mein bisheriger Versuch sieht wie folgt aus (Ich habe mich erstmal auf das Umformen des Terms links des Gleichzeichens beschränkt):

$\begin{eqnarray*} \frac{((\frac{2}{5})^{2x+1})^{\frac{1}{3}}}{((\frac{24}{9})^{x-1})^{\frac{1}{5}}} \end{eqnarray*}$

Gemäß $\begin{eqnarray*} (a^{n})^{m}=a^{n*m} \end{eqnarray*}$ habe ich das umgeformt in:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{2}{5})^{\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} }}{(\frac{24}{9})^{\frac{1}{5}x - \frac{1}{5} }} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich schon nicht mehr so recht weiter. Das Einzige, was mir noch einfiele: Ich könnte noch gemäß $\begin{eqnarray*} a^{n}*a^{m}=a^{n+m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} \end{eqnarray*}$ Zähler und Nenner jeweils umschreiben. Ich wüsste dann allerdings nicht, wie mir das entsprechend helfen könnte.

Insofern bitte ich um einen Denkanstoß. Vielen Dank!

20.10.2013, 20:57

Stefan03

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Hi,

das schaut vom Prinzip her richtig aus. Ob deine Rechnung dann wirklich stimmt, hab ich ehrlich gesagt nicht überprüft.

Schreibe doch auf der rechten Seite die Wurzel auch in Potenzschreibeweise und multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Nenner der linken Seite.

Dann sollte es weitergehen.

20.10.2013, 21:16

Heidjer

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Ehrlich gesagt komme ich mit dem Hinweis trotzdem nicht wirklich weiter. Nach den vorgeschlagenen Maßnahmen komme ich ja auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{5})^{\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} } = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{2}x}*(\frac{24}{9})^{\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich hier nun weiter? Ich habe ja weder gleiche Exponenten noch gleiche Basen, um irgendwelche der Potenzgesetze anwenden zu können?!

Dankesehr!

20.10.2013, 21:19

Stefan03

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OK,

wie würst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} 5^x=3 \end{eqnarray*}$ lösen?

20.10.2013, 21:34

Heidjer

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Ich würde den Logarithmus anwenden und somit kommen auf:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln(3)}{ln(5)} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon darüber nachgedacht, mit dem Logarithmus bei der Gleichung weiterzumachen, aber irgendwie kriege ich dann doch total komplexe Terme?

Ich habe um das zu verdeutlichen "zum Test" auf der rechten Seite den zweiten Summanden mal weggelassen. Da würde dann doch beispielsweise das Folgende rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x= \frac{ln((\frac{2}{5})^{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3} } )}{ln(\frac{3}{4}) } \end{eqnarray*}$

20.10.2013, 21:38

Stefan03

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ja, stimmt soweit

hm, dass mit dem 2. Summanden ist ein Argument. Dann wirds auch mit den Logaritmusregeln wohl kompliziert....Aber auf die Schnelle sehe ich da keinen anderen Weg, morgen dann vllt. wieder smile

20.10.2013, 21:41

Heidjer

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Zitat:

Original von Stefan03
ja, stimmt soweit

hm, dass mit dem 2. Summanden ist ein Argument. Dann wirds auch mit den Logaritmusregeln wohl kompliziert....Aber auf die Schnelle sehe ich da keinen anderen Weg, morgen dann vllt. wieder smile

Alles klar! Trotzdem schon mal vielen Dank für die Bemühungen! :-)

21.10.2013, 09:54

Stefan03

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Guten Morgen,

also ich hab mir das nochmal angeschaut. Da du von "Summanden" geredet hast und ich mir es nicht mehr genauer angeschaut habe, liegt hier das "Problem". Es ist nämlich der 2. Faktor vom Produkt und dann kann man das Logaritmusgesetz anwenden.

Einfach immer die Potenzen nach vorne ziehen und das Produkt in eine Summe verwandeln. Ist zwar nicht schön, aber sollte gehen smile

21.10.2013, 21:24

Heidjer

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Ok, alles klar!

Hab's soweit hinbekommen. Danke dir!

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