Bijektive Abbilfung von N nach N0 oder umgekehrt

21.10.2013, 09:26

Trinitro

Bijektive Abbilfung von N nach N0 oder umgekehrt

Hi,
Wir sollen eine bijektive Abbildung zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb N und \mathbb N _{0} \end{eqnarray*}$ (wobei in N die Null nicht enthalten ist) finden. Ich bekomme aber (für mein Verständnis) die surjektivität nicht hin.
angenommen ich versuche es mit f(x)=x, dann habe ich entweder die 0 im definitionsbereich, aber nicht im Bild oder umgekehrt.
nehme ich f(x)=x-1, darf ich die Null nicht einsetzen. währe das dann eine Lösung?

21.10.2013, 09:50

HAL 9000

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Wieso solltest du bei $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ denn auch $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ einsetzen wollen, wo doch die 0 gar nicht im Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ liegt?

Die Wahl dieser Funktion passt, nun begründe noch die Bijektivität. Das kann z.B. einfach dadurch geschehen, dass du konkret eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}:\;\mathbb{N}_0\to \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nennst, d.h. eine, die die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

21.10.2013, 09:57

Trinitro

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weil ich falschrum gedacht habe xD ich wollte N0 auf N abbilden.
Ok also ich versuch es mal.
Die Abbildung ist Surjektiv, da die Bildmenge der Zielmenge entspricht. (ich erhalte also jeden wert aus N0 auch als bild)
Die Abbildung ist Injektiv, da jedem Wert aus der Bildmenge genau ein Wert aus der Definitionsmenge zugeordnet ist.
Da die Abbildung surjektiv und injektiv ist, ist sie somit bijektiv

21.10.2013, 10:00

Trinitro

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oder dann nach deiner lösung einfach x=y+1?

21.10.2013, 10:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Trinitro
Die Abbildung ist Surjektiv, da die Bildmenge der Zielmenge entspricht. (ich erhalte also jeden wert aus N0 auch als bild)
Die Abbildung ist Injektiv, da jedem Wert aus der Bildmenge genau ein Wert aus der Definitionsmenge zugeordnet ist.
Da die Abbildung surjektiv und injektiv ist, ist sie somit bijektiv

Ja, ist Ok so! Freude

Der Weg über die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ ist wie gesagt nur eine Alternative.

21.10.2013, 10:41

Trinitro

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ok vielen dank für deine Hilfe =)

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