Doppelpost! Summenformel Beweis

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21.10.2013, 12:03	Plissken	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel Beweis Meine Frage: Hallo, ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe komme nicht weiter. Muss die Aufgabe morgen abgeben wäre über eine schnelle Hilfe sehr dankbar. Aufgabe befindet sich auf dem Bild. [attach]31863[/attach] Vielen Dank Meine Ideen: leiner keinerlei Ansätze ;/
21.10.2013, 12:25	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei Summenformel Beweis hallo, diese aufgabe schreit ja förmlich nach vollständiger induktion. Dann fang mal an... gruss ollie3
21.10.2013, 12:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu vollständige Induktion? Nach Ausmultiplizieren erhält man die Doppelsumme $\begin{eqnarray} \sum_{j,k=1}^n \frac{x_j}{x_k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ Summanden. Für jeden Summanden, der nicht den Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ besitzt, tritt auch der Kehrwert in der Summe auf. Jetzt ist aber $\begin{eqnarray} t + \frac{1}{t} \geq 2 = 1 + 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ . Auf die letzte Beziehung reduziert sich jetzt der ganze Nachweis.
21.10.2013, 12:55	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn man schon mal von der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel gehört hat, dann ist das ein Einzeiler.
21.10.2013, 13:18	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelpost! http://www.gute-mathe-fragen.de/56368/se...xn-0-zeige-dass Etwas spät gesehen, danke. Der Thread ist geschlossen. EDIT: Auf Wunsch der Teilnehmer ausnahmsweise wieder geöffnet! Es ist sehr unhöflich, mehrere Helfer gleichzeitig wegen einer Frage zu beschäftigen. Du bestellst ja auch nicht drei Bier in der Kneipe und zahlst dann nur das, was als erstes kommt. Zumal Du hier noch nicht mal zahlst... Steffen
21.10.2013, 14:26	Plissken	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstma vorab vielen Dank für die Antworten, aber ich muss leider nochmal nachfragen... Leopold könnte du mir das noch ein wenig ausfürlicher schildern ich kann die einzelnen Schritte irgendwie nicht nachvollziehen, hab grad erst Studium angefangen und merke muss noch ne Menge nacharbeiten. Vielen Dank schon mal vorab MFG
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21.10.2013, 14:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \underbrace{\left( 1 + 1{,}5 + 0{,}8 + 3{,}2 \right)}_{4 \ \text{Summanden}} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{1} + \frac{1}{1{,}5} + \frac{1}{0{,}8} + \frac{1}{3{,}2} \right)}_{4 \ \text{Summanden}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \underbrace{\color{blue} 1 + \color{red} \frac{1}{1{,}5} \color{black} + \frac{1}{0{,}8} + \frac{1}{3{,}2} + \color{red} 1{,}5 \color{black} + \color{blue} \frac{1{,}5}{1{,}5} \color{black} + \frac{1{,}5}{0{,}8} + \color{green} \frac{1{,}5}{3{,}2} \color{black} + 0{,}8 + \frac{0{,}8}{1{,}5} + \color{blue} \frac{0{,}8}{0{,}8} \color{black} + \frac{0{,}8}{3{,}2} + 3{,}2 + \color{green} \frac{3{,}2}{1{,}5} \color{black} + \frac{3{,}2}{0{,}8} + \color{blue} \frac{3{,}2}{3{,}2} \color{black} }_{16 \ \text{Summanden}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq \color{blue}1 + 1 + 1 + 1 \color{black}+ \color{red} 1 + 1 \color{black} + \color{green} 1 + 1 \color{black} + \ldots \end{eqnarray}$ Die restlichen Summanden . Diese Paare sind vom Typ $\begin{eqnarray} t + \frac{1}{t} \end{eqnarray}$ . Für positive $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist dies aber immer $\begin{eqnarray} \geq 2 = 1+1 \end{eqnarray}$ . Was natürlich noch zu beweisen wäre. Tip: Forme die $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Ungleichung äquivalent um, indem du sie zunächst bruchfrei schreibst. Denke dann an die binomischen Formeln.
21.10.2013, 15:43	Plissken	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstma wieder vielen dank für die Antwort Leopold. Jedoch ist mir vorher etwas schon unklar, und zwar mit den Summen. Also wenn ich bei den Grundsummen mit 1 anfange. Dann ist doch die erste Summe $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$ mal die zweite Summe $\begin{eqnarray} _{1}^{1} \end{eqnarray}$ was ja größer/gleich $\begin{eqnarray} _1^{1} \end{eqnarray}$ Wenn ich aber 2 einsetzen würde nach meiner Logik (die falsch ist) $\begin{eqnarray} (2) mal (_{2}^{1}) \end{eqnarray}$ was nicht größer als $\begin{eqnarray} 2^{2} \end{eqnarray}$ bei mir scheitert es schon daran die Summen erstmal beispielhaft richtig zu füllen Danke dir für die Umstände
21.10.2013, 15:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe. Aber das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ der Formel gibt die Anzahl der Summanden der Summen an, die miteinander multipliziert werden, und nicht den Wert der Summanden. Wenn also $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist und etwa $\begin{eqnarray} x_1 = 2 \end{eqnarray}$ , dann steht da $\begin{eqnarray} \left( \sum_{k=1}^1 x_k \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^1 \frac{1}{x_k} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \geq 1^2 \end{eqnarray}$ Und das ist ja richtig.
21.10.2013, 15:55	Plissken	Auf diesen Beitrag antworten »
ohh man ey das erklärt einiges ja ich war zu dumm das Summenzeichen richtig zu deuten, das war genau der Ansatz der mir hilft das nun auch zu verstehen was du vorher gepostet hast. Vielen lieben Dank schönen Nachmittag noch MFG

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