Absolut Stetiger Anteil einer Verteilungsfunktion

21.10.2013, 14:13	Soltar	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolut Stetiger Anteil einer Verteilungsfunktion Meine Frage: Hallo ich hab folgende Aufgabenstellung: Betrachten Sie die folgende Funktion für l > 0 $\begin{eqnarray} F(x) = 0 \end{eqnarray}$ für x < 0 und $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{4}+ \frac{3}{4}(1-e^{-lx}) \end{eqnarray}$ für x >= 0 Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist. Hat F einen diskreten, einen absolut stetigen und einen singulären Anteil? Wo könnte eine Zufallsvariable X ~ F in Realität auftreten? Meine Ideen: Also das F ein Verteilungsfunktion ist hab ich glaub ich schon gezeigt habe einfach die monotonie und rechtseitige stetigkeit sowie $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } F(x)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } F(x)=0 \end{eqnarray}$ gezeigt nun habe ich die Sprungstellen der Funktion und die Sprunghöge bestimmt um den diskreten Anteil zu haben mit a = 1/4. Mein Problem liegt beim absolut stetigen Anteil der wird soweit ich weis so ermittelt: mit der Ableitung von F und wo immer diese definiert und >0 ist. Jetzt weis ich leider nicht wie ich hier auf das b also den Anteil komme ?? hab zwar abgeleitet und die funktion $\begin{eqnarray} f =\frac{3}{4}e^{-lx}l \end{eqnarray}$ erhalten und kann mir denken dass b = 3/4 ist aber wie man darauf kommt ??? Wär nett falls mir wer helfen könnte mfg
21.10.2013, 17:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ sprichst, solltest du auch erläutern, was die hier bedeuten sollen. Ich kann natürlich die Hellseher-Glaskugel anwerfen, welche mir sagt, dass du damit die Faktoren in der Zerlegung $\begin{eqnarray} F(x) = aF_d(x) + bF_{as}(x) + cF_{ss}(x) \end{eqnarray}$ meinst, mit den Anzeilen d ... diskret as ... absolut stetig ss ... singulär stetig Liege ich da richtig? Bitte gleich mit nennen, oder alternativ auf die eingestreuten $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ im Text verzichten, weil die ohne Erläuterung Humbug sind. $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ ist klar, da wir hier keinen singulär stetigen Anteil haben. Dann folgt mit $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ via die Summe $\begin{eqnarray} a+b+c=1 \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} b=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ .
21.10.2013, 18:19	Soltar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke vielmals für die Antwort des mit a, b, c hätt ich dazu schreiben soll hast recht, aber ja habs genau so gemeint. Gäbe es eine andere Möglichkeit auf b zu kommen als durch die Summe sich das herzuleiten?
21.10.2013, 18:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es läuft ja mehr oder weniger darauf hinaus, dass man für den mittleren Summanden $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \infty} bF_{as}(x) = b\cdot 1 = b \end{eqnarray}$ erhalten muss. Diesen mittleren Summanden erhalten wir ja gerade, wenn wir die diskreten Anteile vom Original-F abziehen: $\begin{eqnarray} F(x)-aF_d(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x<0 \\ \frac{3}{4} \left(1-e^{-lx} \right) & \;\mbox{für}\; x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ , was im Grenzwert für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} b = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ liefert. Aber das ist "hinten durch die Brust ins Auge geschossen", denn letzendlich ist das auch nur eine komplizierte Umschreibung von $\begin{eqnarray} b=1-a \end{eqnarray}$ . Was hast du eigentlich dagegen - ist es dir zu einfach?
22.10.2013, 09:24	Soltar	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein des mit zu einfach wär mir eh recht aber wolltsn nur wissen zwecks Interresse. Danke nochmals für deine Antwort hat mir echt weitergeholfen

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