kubische gleichung

21.10.2013, 15:57

Duinne

kubische gleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit folgender kubischen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \left(x-1\right) ^{2}\left(x+2\right)=4\left(x+2\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nach dem Umformen komme ich auf die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x \left(x^{2}-7 \right) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ ,
was wiederum nicht stimmt. Kann mir jemand sagen, was ich verkehrt mache?

Vielen Dank und liebe Grüße
Duinne

21.10.2013, 16:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duinne
Kann mir jemand sagen, was ich verkehrt mache?

Offensichtlich die Umformung, die du uns ja nicht im Detail gezeigt hast.

Grundsätzlich ist es eine schlechte Idee, hier vollständig auszumultiplizieren: Man sieht auf den ersten Blick, dass links wie rechts ein Faktor $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ da ist, den sollte man erhalten!!! Also alles von rechts nach links bringen

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) - 4(x+2) = 0 \end{eqnarray*}$

und dann ausklammern

$\begin{eqnarray*} [(x-1)^2-4](x+2) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und auch hier links jetzt bitte nicht den Term in [] ausmultiplizieren, sondern eine bessere, schnellere Lösung anstreben. Augenzwinkern

21.10.2013, 16:03

grosserloewe

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RE: kubische gleichung
Wink

Eine Gleichung sehe ich nicht, stimmt aber auch nicht, was da steht.
Welche Schriite?

21.10.2013, 16:03

Equester

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Wie bist du denn auf diese Umformung gekommen?

Dividiere doch direkt durch (x+2) (Beachte, dass für diesen Schritt gilt, x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 2, insgesamt ist aber x=2 durchaus erlaubt).

Wenn man davon ausgehen würde, dass deine Umformung korrekt wäre, beachte bitte, dass auch $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt7 \end{eqnarray*}$ eine Lösung wäre!!!

Edit: Ich bin mal raus^^. Ausklammern (siehe HAL) ist ohnehin schöner, als die Division, auch wenn das so auch ok wäre :P.

21.10.2013, 16:16

Duinne

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kubische Gleichung
ach herje, da ging wohl alles schief.

HAL, deine Ansatz verstehe ich nicht. Du hast den ganz Kram nach links gezogen. Aber warum gibt es jetzt nur noch 4(x+2). Was ist mit dem 2. (x+2) passiert? Davon mal abgesehen, ist mir nicht klar, was ich mit dem neuen Term jetzt tun soll, wenn nicht ausmultiplizieren.

Ich will nicht, dass mir alles hingeschrieben wird. Ich möchte es gerne verstehen aber das verstehe ich grad gar nicht =(

21.10.2013, 16:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duinne
Aber warum gibt es jetzt nur noch 4(x+2).

Wie bitte? Schau mal genau hin.

21.10.2013, 16:30

Duinne

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kubische Gleichung
Es wird nicht besser.
Du hast -4(x+2) gerechnet, um den Term nach links zu bekommen.
Wie kommst du von da zu diesem Term hier?

$\begin{eqnarray*} [(x-1)^2-4](x+2) = 0 \end{eqnarray*}$

Der ist weg und die 4 gehört jetzt zu dem Term ganz links. Was ist das für ein Rechenschritt?

21.10.2013, 16:32

HAL 9000

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Noch nie was von "Ausklammern" (vornehmer: "Distributivgesetz") gehört?

$\begin{eqnarray*} {\color{red}a}\cdot {\color{green}c} - {\color{blue}b}\cdot {\color{green}c} = ({\color{red}a}-{\color{blue}b})\cdot {\color{green}c} \end{eqnarray*}$

Gehört nicht zu den dir bekannten Rechenregeln? Dann wird es aber höchste Zeit, denn nichts anderes ist bei der Umformung

$\begin{eqnarray*} {\color{red}(x-1)^2}\cdot {\color{green}(x+2)} - {\color{blue}4}\cdot {\color{green}(x+2)} = ({\color{red}(x-1)^2}-{\color{blue}4})\cdot {\color{green}(x+2)} \end{eqnarray*}$

passiert. unglücklich

21.10.2013, 16:35

Duinne

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RE: kubische Gleichung
Jetzt habe ich es auch gesehen! Es ist nicht für jeden so einfach ;o)

Und was mache ich jetzt damit? Ich soll es nicht ausmultiplizieren. Einen Plan B habe ich nicht.
Ich würde jetzt die linke Seite der Multiplikation ausmultiplizieren.

21.10.2013, 16:40

Duinne

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RE: kubische Gleichung
Wenn ich das tue, komme ich auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^{2}-2x-3 \end{eqnarray*}$

Die hat die Lösungen 3 und -1.
Und der andere Term (x+2) hat die Lösung -2.

Das dürfte jetzt auch richtig sein.

21.10.2013, 16:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duinne
Ich würde jetzt die linke Seite der Multiplikation ausmultiplizieren.

Ja, mach nur. Nach der Episode mit den Ausklammern ist mein Elan erloschen, dir einen schnelleren Weg über die dritte binomische Formel zu empfehlen, denn wahrscheinlich wird das unter den Umständen nicht wirklich schneller sein.

21.10.2013, 16:50

Duinne

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kubische Gleichung
Ich bin euch allen sehr dankbar für eure Hilfe, besonders HAL.
Ich lasse mich allerdings nicht von deinen abschätzenden Bemerkungen beeindrucken, also sei so gut und zeig mir, wie du es gelöst hättest.

21.10.2013, 16:53

HAL 9000

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Dritte binomische Formel, zur Auffrischung $\begin{eqnarray*} {\color{red}a}^2-{\color{blue}b}^2 = ({\color{red}a}+{\color{blue}b})\cdot ({\color{red}a}-{\color{blue}b}) \end{eqnarray*}$ .

Hier angewandt:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2-4 = {\color{red}(x-1)}^2-{\color{blue}2}^2 = ({\color{red}x-1}+{\color{blue}2})\cdot ({\color{red}x-1}-{\color{blue}2}) = (x+1)(x-3) \end{eqnarray*}$ .

21.10.2013, 16:59

Duinne

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kubische gleichung
Das ist auch Weg, da hast du recht. Und ich habe keine Fragen, weol du es so ausführlich heschrieben hast.

Vielen Dank für deine Unterstützung!
Ich wünsche einen schönen Abend.

Gruß
Duinne

21.10.2013, 17:10

Leopold

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@ Duinne

Oder so:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) = 4(x+2) \end{eqnarray*}$

Weil links und rechts Produkte (!!) stehen, die beide den Faktor $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ enthalten, ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ eine Lösung. Für weitere Lösungen darf man durch $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ dividieren:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 = 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ x-1 = \pm 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=3 \ \text{oder} \ x=-1 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassend sind also $\begin{eqnarray*} x=-2, x=-1, x=3 \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Gleichung.

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