Normalisator

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21.10.2013, 17:06	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalisator Meine Frage: Hallo Leute, das habt ihr hier bestimmt schon ein paar mal gelesen. Aber ich muss es trotzdem nochmal fragen. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} N_G(U):=\{g \in G \mid g^{-1}Ug \subseteq U \} \le G \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} U \le G \end{eqnarray}$ Meine Ideen: So, ich hätte damit kein Problem, wenn der Normalisator so definiert wäre $\begin{eqnarray} N_G(U):=\{g \in G \mid g^{-1}Ug = U \} \le G \end{eqnarray}$ . und im endlich Fall würde das auch für mich unproblematisch sein. Sonst hab ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray} 1\in N_G(U) \end{eqnarray}$ und der Normalisator somit nicht leer ist. Wenn ich mir jetzt $\begin{eqnarray} g \in N_G(U) \end{eqnarray}$ nehme, dann muss ich zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} g^{-1} \in N_G(U) \end{eqnarray}$ ist. Weil ich dann nämlich einfach die Abgeschlosenheit zeigen könnte. Wäre auch alles kein Problem, bloß warum ist jetzt nun $\begin{eqnarray} gUg^{-1} \subseteq U \end{eqnarray}$ . Wäre dankbar für jede Hilfe.
21.10.2013, 18:01	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalisator Hallo, in der Gruppentheorie sind $\begin{eqnarray} gU\subseteq U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} gU=U \end{eqnarray}$ gleichwertig für Untergruppen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Der Nachweis, dass mit $\begin{eqnarray} g^{-1}Ug\subseteq U \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} gUg^{-1}\subseteq U \end{eqnarray}$ gilt, kann natürlich auch (mehr oder weniger) direkt geführt werden. Bedenke: Die Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto g^{-1}xg \end{eqnarray}$ ist ein Isomorphismus (innerer Automorphismus). Mfg Michael
21.10.2013, 18:31	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey micha L, danke für die Antwort. Ich weiß, dass Bijektionen zwischen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Ug \end{eqnarray}$ bestehen und, dass U in Ug liegt. Aber folgt daraus jetzt, dass U=Ug. Wenn ja warum? Danke für die Hilfe
21.10.2013, 19:48	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du bemängelst, dass "nur" $\begin{eqnarray} g^{-1}Ug\subseteq U \end{eqnarray}$ gelten muss, nicht $\begin{eqnarray} g^{-1}Ug= U \end{eqnarray}$ . Beweise doch einfach, dass aus " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ " schon "=" folgt. Dann hast du doch kein Problem mehr, wenn ich dich richtig verstehe?! Mfg Michael
21.10.2013, 20:24	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap genau. Ich müsste bloß die andere Inklusion zeigen können, was mir leider nicht gelingt. Hab schon vieles versucht. Zum Beispiel bei Normalteiler reicht ja auch nur aus, dass $\begin{eqnarray} n^g \in N \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ . Kannst u mir fürie andere Inklusion noch einen Tip geben. Der Tip mit der Konjugation als automorphismus bringt mich leider nicht gewünscht weiter, weil ich da ja eh nur hab, dass das Bild $\begin{eqnarray} U^g \end{eqnarray}$ in U ist. Ich versteh irgendwie immer noch nicht warum die andere Inklusion folgt. Danke für deine Bemühungen
22.10.2013, 12:33	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab mal meine Literatur zurate gezogen und dort Normalisatoren tatsächlich immer mit Gleichheit definiert gefunden. Kann die Inklusion ein Fehler sein? Ich habe auch (halbherzig) versucht, einen Beweis zu finden, hatte aber nicht wirklich Zeit/Ruhe. Mfg Michael
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23.10.2013, 13:03	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie leicht zu zeigen ist $\begin{eqnarray} N_G(U) \end{eqnarray}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Also ist mit $\begin{eqnarray} n\in N_G(U) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} n^{-1}\in N_G(U) \end{eqnarray}$ . Damit folgt $\begin{eqnarray} n^{-1}Un\subseteq U\Rightarrow Un \subseteq nU \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} nUn^{-1}\subseteq U\Rightarrow nU \subseteq Un \end{eqnarray}$ Also gilt $\begin{eqnarray} nU= Un \Rightarrow n^{-1}Un= U \end{eqnarray}$ Die Inklusion impliziert also die Gleichheit.
23.10.2013, 14:34	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich krieg ja nicht gezeigt, dass, wenn $\begin{eqnarray} n \in N_G(U)=\{g \in G \mid U^g\subseteq U \} \end{eqnarray}$ , auch $\begin{eqnarray} n^{-1} \in N_G(U) \end{eqnarray}$ . Kannst du mir dafür einen Tip geben? Vielen Dank für deine Bemühungen
23.10.2013, 14:46	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh kann man das sonst nicht so machen: Aus $\begin{eqnarray} n^{-1} \in N_G(U) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} U^n=U \end{eqnarray}$ . Also, wenn $\begin{eqnarray} U^n \neq U \end{eqnarray}$ dann folgt $\begin{eqnarray} n^{-1} \notin N_G(U) \end{eqnarray}$ . Was ja denn bedeuten würde, dass der Normalistor nur so definiert werden kann $\begin{eqnarray} \{ g\in G \mid U^g=U\} \end{eqnarray}$
23.10.2013, 17:23	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass $\begin{eqnarray} N_G(U) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Dann ist klar, dass $\begin{eqnarray} n\in N_G(U) \Leftrightarrow n^{-1}\in N_G(U) \end{eqnarray}$ . Zeige also die Folgerung $\begin{eqnarray} a,b\in N_G(U)\Rightarrow ab^{-1}\in N_G(U) \end{eqnarray}$ (Untergruppenkriterium). Das impliziert nämlich $\begin{eqnarray} e \in N_G(U) \end{eqnarray}$ , (wobei das nach der Art der Konstruktion des Normalisators sowieso klar ist), $\begin{eqnarray} a \in N_G(U)\Rightarrow a^{-1} \in N_G(U) \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} ab \in N_G(U) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ soll das Einselement symbolisieren. Tipp: Benutze $\begin{eqnarray} e = a a^{-1} \end{eqnarray}$
23.10.2013, 18:40	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber warum gilt denn dei Implikation $\begin{eqnarray} a,b \in N_G(U) \Longrightarrow ab^{-1} \in N_G(U) \end{eqnarray}$ ? Ich wollte das ja zeigen, indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray} N_G(U) \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist bezüglich der Verknüpfung und, dass das Inverse sich dort drin befindet. Ich kriegs einfach nicht hin. Dank dir
23.10.2013, 18:47	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich mein, wenn der Normalisator so definiert ist $\begin{eqnarray} N_G(U):=\{g \in G\mid gUg^{-1} \subseteq U \} \end{eqnarray}$ LG
23.10.2013, 19:00	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach erst mal $\begin{eqnarray} U = eUe = (aa^{-1})^{-1}U (aa^{-1}) \end{eqnarray}$ und zeige, dass daraus $\begin{eqnarray} a\in N_G(U)\Rightarrow a^{-1}\in N_G(U) \end{eqnarray}$ folgt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Konjugation einer Teilmenge von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ höchstens die Mächtigkeit dieser Teilmenge haben kann, also $\begin{eqnarray} \|g^{-1}Sg\| \le \|S\|, S\subseteq G \end{eqnarray}$ . Prüfe dann, ob allgemein $\begin{eqnarray} (ab^{-1})^{-1}U(ab^{-1}) \subseteq U, a,b\in N_G(U) \end{eqnarray}$ gilt.
24.10.2013, 11:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
@Raven: Die Mächtigkeit darf hier doch eigentlich keine Rolle spielen, da wir ja eh annehmen, dass U unendlich ist. Jedenfalls hat Öpö im Eröffnungsbeitrag schon angemerkt, dass der endliche Fall nicht weiter schwer ist. Ich bin mir auch nicht sicher, ob die Definitionen wirklich äquivalent sind. Als Gegenbeispiel habe ich mir das folgende überlegt: $\begin{eqnarray} V:=\langle..., v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,...\rangle \end{eqnarray}$ sei ein unendlich-dimensionaler Vektorraum (abelsche Gruppe) und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ sei ein VR-Automorphismus, der die Basis "shiftet", d.h. $\begin{eqnarray} {v_i}^\sigma=v_{i+1} \end{eqnarray}$ . Unsere Gruppe sei nun das semidirekte Produkt $\begin{eqnarray} G:=V\rtimes\langle \sigma\rangle \end{eqnarray}$ und wir betrachten $\begin{eqnarray} U:=\langle v_1,v_2,...\rangle \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \sigma\in N_G(U) \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} U^\sigma=\sigma^{-1}U\sigma=\langle v_2,v_3,...\rangle\subseteq U \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sigma^{-1}\not\in N_G(U) \end{eqnarray}$ . Gruß Reksilat
24.10.2013, 11:36	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Reksilat Das ist mir später auch aufgefallen, dass man bei unendlichen Gruppen mit der Mächtigkeit nicht argumentieren kann. Ich bin bei genauerem Nachdenken auch auf Schwierigkeiten gestoßen, unter der Annahme $\begin{eqnarray} g^{-1}Ug\subseteq U \end{eqnarray}$ zu beweisen, dass der Normalisator eine Untergruppe ist. Ich scheine da einem Zirkelschluss aufgesessen zu sein. Denn in meinem "Beweis" der Äquivalenz hatte ich schon vorausgesetzt, dass der Normalisator Untergruppe ist. Vermutlich hast du recht, dann müsste man wohl den Normalisator doch mit Gleichheit definieren, wenn er eine Untergruppe sein soll. Ich habe auch nirgendwo die Definition mit obiger Inklusion gefunden. Bei endlichen Gruppen ist die Äquivalenz einfach zu zeigen. Vielleicht war Endlichkeit eine von öpö nicht kommunizierte Zusatzannahme.
24.10.2013, 17:43	Öpö	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leute, danke für eure Bemühungen. Ne die Gruppe sollte ganz allgemein definiert sein, aber mein Prof hat schon gesgat, dass er die Aufgabe falsch gestellt hatte. Der Normalisator ist also über die Gleichheit $\begin{eqnarray} g^{-1}Ug=U \end{eqnarray}$ definiert. Vielen Dank euch allen
24.10.2013, 17:55	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass ihm das so früh eingefallen ist.

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