Darstellung mit mathematischen Symbolen

21.10.2013, 21:12

Lynn2

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Darstellung mit mathematischen Symbolen

Meine Frage:
Drücke folgende Aussagen mit Hilfe von Symbolen und Variablen aus.

(1) Zu jeder natürlichen Zahl n und jeder natürlichen Zahl m gibt es eine natürliche Zahl a, so dass n + a = m ist.
(2) Nicht jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von drei Quadratzahlen darstellen.
(3) p ist eine Primzahl.
(4) Die Menge M hat kein größtes Element.

Meine Ideen:
(1) $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \wedge \forall m \in \mathbb N : n + a = m \wedge a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : n = p^{2} + q^{2} + r^{2} \wedge p, q, r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \exists p \in \mathbb N , p > 1 : n = p|q \wedge m = p|r \wedge n \neq m \wedge m, n, q, r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \forall y \in M, x nicht \in M : y < x \wedge x \neq y \end{eqnarray*}$

Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mal drüber schauen könntet, ob das richtig ist. Danke. smile

smile

22.10.2013, 00:19

DerJFK

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Hi,

ich schreibe dir die erste Formel richtig hin und versuche du dann anhand dieser mit meinen Kommentaren die anderen Formeln zu schreiben.

(1)

deine erste Aussage ist schonmal nicht richtig, denn n=5 und m = 4... da gibt es kein a damit 5+a = 4.

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \forall n,m \in \mathbb{N} \ \exists a \in \mathbb{N} : (n<m) \rightarrow (n+a=m) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n \ge m \end{eqnarray*}$ ist die Aussage automatisch wahr und für $\begin{eqnarray*} n < m \end{eqnarray*}$ finden wir immer ein "a" damit die Aussage wahr wird.

(2)

Zur zweiten, "nicht jede" kannst du lesen "existiert eine Zahl für die das nicht gilt". Denn deine Aussage ist "Es existiert eine für die es gilt", was nicht bedeutet dass es nicht für alle gilt.

(3)

deine Aussage ist, dass eine Primzahl existiert und nicht das gerade p die Primzahl ist.

p muss also in deiner Formel eine Konstante sein und sollte nicht durch ein Quantor gebunden werden!

(4)

Ist mir nicht klar was das "nicht" in der Formel bedeutet? Wie kann man denn sprachlich noch ausdrücken, dass M kein größtes Element besitzt?

"Für alle x aus M existiert ein y, so dass ... "

22.10.2013, 10:17

Reksilat

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@JFK:

Zitat:

(1)
Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} \forall n,m \in \mathbb{N} \ \exists a \in \mathbb{N} : (n<m) \rightarrow (n+a=m) \end{eqnarray*}$

Wo steht in der Aufgabenstellung etwas von n<m?

Die korrekte Darstellung ist:
$\begin{eqnarray*} \forall n,m \in \mathbb{N} \ \exists a \in \mathbb{N} : n+a=m \end{eqnarray*}$
Ob die Aussage nun wahr oder falsch ist, ist in dieser Aufgabe ja nicht weiter von Bedeutung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Lynn:
Bei den übrigen Aufgaben ist noch zu beachten, dass alle verwendeten Variablen (außer die in der Fragestellung definierten p und M) durch Quantoren gebunden werden müssen und nicht einfach so verwendet werden dürfen.

Gruß
Reksilat

22.10.2013, 11:45

Lynn2

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Danke für eure schnellen Antworten.

@Reksilat:
Was meinst du mit Quantoren? Kannst du mir ein Beispiel nennen zum Verständnis?

Und wie stelle ich dar, dass p meine Primzahl ist?

22.10.2013, 11:47

Lynn2

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@JFK
Das nicht soll bedeuten, dass x nicht Element von M ist.

22.10.2013, 12:55

DerJFK

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Woher ist dann x wenn es nicht aus M ist? Nur weil es elemente aus anderen Mengen gibt welche immer größer sind als die aus M folgt ja nicht das es in M kein größtes gibt.

Für alle y aus M gibt es ein x aus M so dass y < x. Wenn du das als Formel schreibst hast du die Aussage das es in M kein größtes Element gibt.

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22.10.2013, 13:01

Reksilat

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Quantoren, bzw. die entsprechenden Symbole dafür sind: $\begin{eqnarray*} \forall,\exists \end{eqnarray*}$

In Deinem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : n = p^{2} + q^{2} + r^{2} \wedge p, q, r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind p,q,r nicht definiert. Da steht zwar, dass es natürliche Zahlen sind, aber keiner weiß, ob diese nun einen festen Wert annehmen sollen oder beliebig belegbar sind.

Ich ziehe mich aber erst mal zurück und überlasse JFK die weitere Hilfe. Wink

Wink

22.10.2013, 15:36

Lynn2

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Ich habe nun mal meine Ausdrücke verbessert:

(1) $\begin{eqnarray*} \forall n,m \in \mathbb N , \exists a \in \mathbb N : n + a = m \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \forall p,q,r \in \mathbb N, \exists n \in \mathbb N: n \neq p^{2} + q^{2} + r^{2} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \exists p \in \mathbb N : p|p \wedge p|1 \end{eqnarray*}$
Hier weiß ich jedoch nicht, wie man es ausdrückt, dass die nur diese beiden Teiler haben und keine weiteren Teiler. Macht man das eventuell mit einer Implikation?
(4) $\begin{eqnarray*} \forall y \in M,\exists x \in M: y < x \end{eqnarray*}$
Leider habe ich nicht verstanden, wie sich daraus erkennen lässt, dass M kein größtes Element hat. Magst du mir das nochmal erläutern?

Vielen Dank im Voraus. smile

smile

22.10.2013, 16:38

DerJFK

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(2) Nicht jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von drei Quadratzahlen darstellen. <-- sollst du sagen

aber deins sagt: Für jede summe aus 3 quadratzahlen findet sich eine Zahl die ungleich der Summe ist.

Hier würde ich empfehlen:

Es gibt ein n aus N für alle p,q,r, aus N , so dass $\begin{eqnarray*} n \not= p^2 + q^2 + r^2 \end{eqnarray*}$

Die Negation von "Nicht für alle gilt" ist "es existiert eins für das es nicht gilt"

(3)

wie vorher gesagt, p ist eine Konstante und soll nicht durch Quantoren gebunden werden. Deine Aussage sagt einfach nur, es gibt eine Zahl die sich selbst und durch eins teilbar ist. Was für alle Zahlen und nicht nur für Primzahlen gilt.

Du musst eine Formel formulieren, dass diese nur wahr wird, wenn p nur die Teiler p und 1 hat.

Die Aussage: n ist eine gerade Zahl wäre als Formel

$\begin{eqnarray*} \exists m : 2 \cdot m = n \end{eqnarray*}$

Du siehst, n ist nicht durch einen Quantor gebunden.

(4)

Die Formal sagt aus, dass du zu jedem beliebigen y aus M ein x in M findest, so dass y < x ist. Egal welches Element du aus M nimmst, es gibt noch ein größeres in M.

Die Aussage: M besitzt ein größtes Element wäre

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M \ \forall y \in M : y \le x \end{eqnarray*}$

22.10.2013, 18:51

Lynn2

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(3) Muss es dann einfach nur heißen: $\begin{eqnarray*} p:= p|p \wedge p|1 \end{eqnarray*}$ ?

Aber sagt dies dann auch aus, dass es nur diese Teiler gibt?

(4) Ich bin verwirrt! Wenn y<x ist, ist doch x das größte Element in M oder nicht?

22.10.2013, 19:08

DerJFK

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(3) folge meinen Beispielen:

"n ist eine gerade Zahl" <=> $\begin{eqnarray*} \exists m : 2 \cdot m = n \end{eqnarray*}$
"n ist eine ungerade Zahl" <=> $\begin{eqnarray*} \exists m : 2 \cdot m + 1 = n \end{eqnarray*}$

Bei den Primzahlen musst du nun sagen, dass es es nur durch p und 1 teilbar ist. Also
es darf keinen anderen Teiler geben.

p:= damit definierst du die Formel als p. Was Merkwürdig ist wenn du sie dann wieder p in der Formel verwendest.

(4) Unterscheide

$\begin{eqnarray*} \forall y \in M \ \exists x \in M : y < x \end{eqnarray*}$ Für jedes x gibt es ein y

$\begin{eqnarray*} \exists x \in M \ \forall y \in M : y \le x \end{eqnarray*}$ Es gibt ein x für alle y

Erkennst du den Unterschied?

22.10.2013, 19:27

Lynn2

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(3) $\begin{eqnarray*} p|1=p \wedge p|p=1 \end{eqnarray*}$ Dann so?

(4) Der eine Unterschied ist das Relationszeichen und der andere Unterschied ist zwischen "für alle y gibt es ein x" und "es existiert ein x für alle y".

22.10.2013, 19:39

DerJFK

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(3) Die Formel ist doch für jede natürliche Zahl p wahr. Denn jede natürliche Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar. Du musst eine Aussage darüber treffen, dass es keine anderen Teiler geben kann.

(4) Ich wollte darauf hinaus, dass du verstehst welche Bedeutung es hat wenn man die Quantoren $\begin{eqnarray*} \forall, \exists \end{eqnarray*}$ vertauscht. Damit klarer wird warum die Formel gerade sagt, dass es kein größtes Element gibt (bzw. ein größtes Element gibt).

22.10.2013, 19:46

DerJFK

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http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit

$\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ bedeutet, a ist teiler von b. Du kannst dann sagen, dass n|a eben wahr ist wenn n teiler von a ist und falsche wenn n kein teiler von a ist.

22.10.2013, 19:56

Lynn2

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(3) $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N : n|p \Rightarrow (n=1 \vee n=p) \end{eqnarray*}$

(4) Ja, den Unterschied habe ich verstanden. Nur liegt ja x, welches das größte Element ist, in M und das soll ja nicht sein!?

22.10.2013, 20:03

DerJFK

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(3) fast gut. Aber warum schreibst du $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ? p ist doch konstant und vorgegeben und für welche n soll die Formel wahr sein?

(4)

$\begin{eqnarray*} \forall y \in M \ \exists x \in M : y < x \end{eqnarray*}$

Diese Formel besagt, dass es in M kein größtes Element gibt. Das sagt dir Formel dadurch, dass du für jedes y in M ein x in M finden kannst welches größer ist wie y. Damit ist das gefundene x ja nicht das größte Element in M, sondern einfach nur größer wie das betrachtete y. Es gilt ja für alle Elemente in M, also gibt es für das x auch wieder ein Element was größer ist. ok?

22.10.2013, 20:18

Lynn2

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(3) Ich dachte, dass ich das hinschreiben muss, weil ja p eine natürliche Zahl sein muss.
Muss es dann wie folgt heißen? $\begin{eqnarray*} p : n|p \Rightarrow (n=1 \vee n=p) \end{eqnarray*}$

(4) Ich glaube, dass ich ein allgemeines Verständnisproblem habe zwecks dem größten Element in M. Angenommen die Menge M enthält 1, 3 und 5. Dann ist doch 5 das größte Element oder? Und dieses soll es ja nicht geben.

22.10.2013, 20:26

DerJFK

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(3) Ich hatte dir doch die Beispiel mit

p ist eine gerade Zahl <=> $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} : 2 \cdot n = p \end{eqnarray*}$

Für welche n muss denn deine Formel

$\begin{eqnarray*} n | p \rightarrow (n = 1 \vee n = p) \end{eqnarray*}$

gelten?

(4) Wenn du eine Menge $\begin{eqnarray*} M = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ hast, dann hat die Menge ja auch ein größtes Element. So eine Menge ist also ausgeschlossen.
Ein Beispiel für eine Menge für die die Formel gilt ist $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (natürliche Zahlen)

Die Formel gilt ja nicht für alle Mengen, sondern nur für welche die kein größtes Element haben.

22.10.2013, 20:43

Lynn2

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(3) $\begin{eqnarray*} \exists n : n|p \Rightarrow (n=1 \wedge n=p) \end{eqnarray*}$

(4) Ich versteh es einfach nicht, warum dieser Ausdruck aussagt, dass es KEIN größtes Element gibt. verwirrt

verwirrt

traurig

Wenn es doch noch größere Element als x gibt, gibt es doch noch größere Elemente und somit ein größtes Element.

22.10.2013, 20:50

DerJFK

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(3) reicht es das es ein n gibt? So gilt deine Formel wieder für alle natürliche Zahlen. Schreibe dir doch in Worten auf was du da hast

"Es gibt ein n, so dass aus n ist Teiler aus p folgt n=1 oder n=p",... egal was p ist, kannst immer n=1 oder n=p setzen. Musst ja nur eins finden.

(4) Nimm dir doch mal die natürlichen Zahlen, du findest doch zu jeder Zahl eine andere Zahl die größer ist als die erste, oder? Gibt es deshalb eine größte natürliche Zahl?

22.10.2013, 21:04

Lynn2

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(4) Da die natürliche Zahlen unendlich sind, gibt es keine größte Zahl.

22.10.2013, 21:08

Lynn2

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(3) $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : n|p \Rightarrow (n=1 \wedge n=p) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass es mindestens ein n gibt für das ... gilt.

22.10.2013, 21:23

DerJFK

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(3)

Eben es gibt mindestens 1. Du willst aber

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} : n | p \rightarrow (n=1 \vee n=p) \end{eqnarray*}$

Für alle n muss gelten, dass falls n Teiler von p ist dann muss n=1 ODER n=p sein. Das es ein n gibt für das das gilt ist ja klar, n=p oder n=1.

(4) Die Menge M=[0,1] (reelles Intervall) ist auch unendlich, hat aber ein größtes und kleinstes Element. M=(0,1) hingegen hat kein größtes und kleinstes Element.

22.10.2013, 21:38

Lynn2

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(3) Aber für eine Primzahl muss doch n=1 und n=p gelten oder nicht?

(4) Und da mein M nicht eindeutig bestimmt ist, gibt es kein größtes Element?

22.10.2013, 21:45

DerJFK

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(3) Diese Primzahl p darf aber nur durch 1 und p teilbar sein. Deshalb muss die Formel ja aussagen, dass für alle Zahlen gilt: Wenn n ein Teiler von p ist, dann muss n=1 oder n=p sein.

Deine Formel soll gültig sein, sobald p eine Primzahl ist und sonst nicht.

(4) Ich wollte dir damit klar machen, dass nur weil eine Menge unendlich ist nicht folgt, dass es kein größtes Element gibt.

Wie oben, die Formel soll wahr sein wenn M eine Menge ohne größtes Element ist und sonst soll die Formel falsch sein.

22.10.2013, 21:57

Lynn2

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Okay, vielen vielen Dank für deine Hilfe.

Ich habe nur noch eine kleine Frage zu (3). Kann man da noch mit einfügen, dass p eine natürliche Zahl ist?

22.10.2013, 22:11

DerJFK

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Ja, ist auch richtig,... smile

smile

kannst auch p > 0 einfügen.

22.10.2013, 22:29

Lynn2

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Kann ich das einfach hinter "für alle n Element N" einfügen? verwirrt

verwirrt

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