Zusammenhang von arctan und pi (Komplexe Zahlen

21.10.2013, 22:05

Zwuckel87

Zusammenhang von arctan und pi (Komplexe Zahlen

Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zum Zusammenhang von arctan und pi.

In meinen Studienunterlagen steht im Zusammenhang mit komplexen Zahlen:

$\begin{eqnarray*} arctan (\frac{3}{-3*\sqrt{3} }) +\pi \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{pi}{6} +pi \end{eqnarray*}$ = 5/6 pi

Für die Darstellung in Polarform.

Ich versteh aber gar nicht den rechnerischen Weg noch den Zusammenhang. Kann mir den jemand bitte erläutern? Häng seit einer Stunde dran. Leider habe ich ein paar Lücken in Mathe. (Kann ich die mit dem Papula füllen?)

21.10.2013, 22:37

inf1nity

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Hi,

schau Dir doch bitte mal an, welchen Wertebereich der Arkustangens hat, wie er verläuft und wie man daraus wieder den "richtigen" Winkel zurückgewinnt. Hierzu hilft Wikipedia weiter. Einmal nach Arkustangens suchen und dann nach "Komplexe Zahl" -> "Von der algebraischen Form in die Polarform".

Schönen Abend!

22.10.2013, 10:17

Zwuckel87

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Hi,

Vielen Dank für deine Antwort.

Den theorethischen Zusammenhang hab ich nun betrachtet und zu 40% verstanden. (Glaub ich)

Ich hab ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} arctan -\frac{1}{\sqrt{3} }+\pi \end{eqnarray*}$

Mit dem Taschenrechner komm ich auf -30° (+pi) macht auch Sinn da Pi 180° sind und geteilt durch 6 macht 30.

Aber wie komm ich ohne Taschenrechner von oben genannter Formel auf -pi/6 + pi?

22.10.2013, 10:40

HAL 9000

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Das $\begin{eqnarray*} +\pi \end{eqnarray*}$ brauchst du, weil die zugehörige komplexe Zahl im zweiten Quadranten liegt - du hattest ja schon die Rechercheempfehlung

Zitat:

Original von inf1nity
und dann nach "Komplexe Zahl" -> "Von der algebraischen Form in die Polarform".

Verbleibt also nur

$\begin{eqnarray*} \arctan\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\arctan\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \end{eqnarray*}$

letztes basiert auf der Symmetrie $\begin{eqnarray*} \arctan(-x)=-\arctan(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Und dann gibt es spezielle Tangensfunktionswerte, von denen zumindest die bei 30°, 45° und 60° geläufig sein sollten, und wenn auch nur durch Division aus den entsprechenden speziellen Sinus- und Kosinusfunktionswerten. Ist seit Beginn des TR-Zeitalters bei vielen allmählich der Vergessenheit anheimgefallen, was sich dann manchmal rächt.

22.10.2013, 11:37

Zwuckel87

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Hi,

Auch dir danke für deine Antwort.

Aber irgendwie kann ich immer noch nicht auf -pi/6 + pi kommen. Also rein rechnerisch. Aber ich brauche doch diese Form für meine komplexe Zahl.

Grüße.

22.10.2013, 11:50

Steffen Bühler

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Kurze Anmerkung:

Wenn, wie hier, der Imaginärteil positiv und der Realteil negativ ist, muss der Winkel zwischen pi/2 und pi liegen. Der atan weiß aber nichts von diesen beiden Vorzeichen. Daher muss zum Ergebnis entweder "zu Fuß" der Winkel pi addiert werden, damit man im geforderten Bereich landet, oder man nimmt gleich den atan2, der Real- und Imaginärteil als Argument bekommt und immer den korrekten Winkel liefert.

Viele Grüße
Steffen

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