Unstetigkeitsstelle bei Verteilungsfunktionen

22.10.2013, 09:50

Soltar

Unstetigkeitsstelle bei Verteilungsfunktionen

Meine Frage:
Hallo ich hab folgende Aufgabenstellung:

Sei F element der Familie der Verteilungsfunktionen mit eigenschaften

$\begin{eqnarray*} (F1) monoton wachsend, rechtsseitig stetig \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (F2) \lim_{x \to -\infty } F(x)=0 ; \lim_{x \to \infty } F(x)=1 \end{eqnarray*}$

F hat eine Unstetigkeisstelle in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ GENAU DANN WENN

$\begin{eqnarray*} \mu_{F}({x_{0}}) > 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weis dass

$\begin{eqnarray*} \mu_{F}((a,b]):= F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist und würd jetzt so vorgehen dass ich zeige dass der linksseitige Grenzwert nicht mit dem rechtsseitigen Übereinstimmt. also ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} \mu_{F}({x_{0}}):= \lim_{x \to x_{0}+}F(x)- \lim_{x \to x_{0}-}F(x) \end{eqnarray*}$

Da nun F sowieso rechtsseitig stetig ist folgt dass ich folgendes bekomm

$\begin{eqnarray*} \mu_{F}({x_{0}}):= F(x_{0})- \lim_{x \to x_{0}-}F(x) \end{eqnarray*}$

Nun weis ich aber nicht wie ich weiter vorgehn soll. Es ist ja so dass bei einer Unstetigkeitsstelle rechter und linker Limes nicht übereinstimmt somit wäre falls >0 herauskommt unstetig ?? Bin für jede Hilfe dankbar
mfg

24.10.2013, 18:42

Venus²

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RE: Unstetigkeitsstelle bei Verteilungsfunktionen

Zitat:

Nun weis ich aber nicht wie ich weiter vorgehn soll. Es ist ja so dass bei einer Unstetigkeitsstelle rechter und linker Limes nicht übereinstimmt somit wäre falls >0 herauskommt unstetig ?? Bin für jede Hilfe dankbar

Denke, das ist der richtige Ansatz. Du musst aber noch begründen, warum >0 und nicht <0. Außerdem würde ich das GENAU DANN WENN verdeutlichen.

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Unstetigkeitsstelle bei Verteilungsfunktionen

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