Endliche Körper: Schreibweisen etc.

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deviantfancpp Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper: Schreibweisen etc.
Hallo,

sind ja natürlich die ganzen Zahlen
und zB. das Ganze modulo 3.
So viel ist mir noch klar Big Laugh

Was ist dann der Unterschied zwischen und GF(3)?
(gibt es überhaupt einen Unterschied)?
Falls nicht ist das wahrscheinlich nur bei Primzahlen/potenzen so(?)
zB. bei 6 kann man schon alles modulo 6 nehmen,
aber die ganzen Zahlen modulo 6 bilden keinen Körper, deshalb kein GF
Stimmt das irgendwie oder bin ich komplett daneben?

Und was mir komplett unklar ist (vielleicht fehlt mir nur der richtige Suchbegriff):
Wie sind folgende Sachen zu verstehen:


und vor allem


Vielleicht könnt ihr mich da ja bitte in die richtige Richtung stoßen Hammer
Danke
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,


bezeichnet den Restklassenring modulo n. (als Quotientenring von )

bezeichnet "den" Körper mit q Elementen. Im Fall von q eine Primzahlpotenz gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten GF(q) als Menge zu konstruieren, jedoch sind diese alle isomorph daher kann man von "dem" Körper sprechen. Im Fall q prim setzt man ( Es gibt nur endliche Körper deren Mächtigkeit eine Primzahlpotenz ist.)


Also:
Zitat:
Was ist dann der Unterschied zwischen und GF(3)?

kein Unterschied. Wobei ein kleiner schon: GF(3) ist eine eindeutige Bezeichnung, während noch etwas anderes bezeichnen kann, nämlich den Ring der ganzen 3-adischen Zahlen:
de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahl

Wie du richtig erkannt hast glt für n nicht prim: .


Zitat:

Das sind Polynomringe (wundert dass die noch in der Vorlesung eingeführt wurden)

Zitat:

Das ist ein Quotentenring, hier eine Darstellung von GF(9)
 
 
deviantfancpp Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal!

Zu diesem Quotientenring:
Wikipedia bringt mich zu zwei Möglichkeiten,
du meinst http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring, oder? Big Laugh

Also salopp gesagt wäre das Beispiel das Selbe wie
(Alle Polynome mit Variable x und Faktoren 0, 1 oder 2) modulo (1+x^2)
(oder?)

Wenn ich jetzt dafür Additions-/Multiplikationtafel aufstellen will,
wird dann Folgendes addiert/multipliziert:
0x+0
0x+1
0x+2
1x+0
...
2x+2
Und das Ergebnis jeweils modulo (1+x^2)
?

Nur warum ist das dann GF(9)?
Passt irgendwie nicht dazu
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Den Link mein ich nicht, der führt ja mehr oder weniger ins nichts.
Wikipedia nennt das Faktorring (mit der Anmerkung, das es auch Wuotientenring heißt)

Und du hast hier eine 9-elementige Menge mit + und *-Verknüpfungen.
Man kann per hand nachweisen, dass dies hier ein körper ist oder bemüht etwas Theorie um zu zeigen, dass (1+x²) ein maximales Ideal im Pol.ring ist und der Quotient damit ein Körper.
deviantfancpp Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, beim Link war am Schluss ein Komma.
Jedenfalls meinte ich damit den Faktorring, also danke für Bestätigung
(und natürlich auch für alles andere smile )

Zitat:
>Man kann per hand nachweisen, dass dies hier ein körper ist

Das hatte ich gemacht und dann gerätselt, wie das mit GF(9) zusammenpasst.
Inzwischen hab ich gemerkt, dass ich mich einfach verrechnet habe
(mehrmals noch dazu. Sind ja doch je 81 "Zellen" in Add./Mult.tabelle :hammersmile .
Mit der richtigen Version ist der Zusammenhang ziemlich offensichtlich smile

Danke nochmal, hast mir sehr geholfen!
deviantfancpp Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weitere Frage hätt ich da noch smile

Wie ist zu verstehen?

Danke
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab diese Schreibweise noch nie gesehen, kann also nur raten:
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