Konvergenz von Reihen

22.10.2013, 14:51

Paul8

Konvergenz von Reihen

Hallo
Ich weiß nicht ob das hier zu "Schulmathematik" gehört oder ob das doch Uni-Stoff ist. Ich bin auf einem Gymnasium und mein Lehrer hat mir gesagt, dass man das erst auf der Uni macht und, dass wir das nicht auf dem Gymnasium lernen werden.
Und zwar geht es um folgende Gleichung, die nach meinen Informationen stimmt.
$\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante
$\begin{eqnarray*} lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}i^{k}}{n^{k+1}}\right) = lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^{k}+2^{k}+\ldots+(n-1)^{k}+n^{k}}{n^{k+1}}\right)=\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
Meine Frage ist warum das so ist. Kon- und Divergenz haben wir besprochen, nur nicht von Reihen, trotzdem möchte es umbedingt verstehen smile

.
Wenn man nicht beachten würde, dass die Summe im Zähler auch wächst, wäre der Limes ja 0. Trotzdem bin ich noch ein bisschen skeptisch anzunehmen, dass der Limes nicht 0 ist, da die größte Potzens ja im Nenner steht und somit schneller anwächst - wie ich mir vorstelle..
Wäre echt nett, wenn mir das jmd erklären könnte oder ggf eine Fachbegriff dazu sagen könnte, mitdem man Google für weiteres befragen könnte smile

Danke im Vorraus

22.10.2013, 15:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Paul8
$\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante

Möchtest du das nicht ein wenig eingrenzen?

Es gibt viele $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , für die diese deine Behauptung falsch ist.

22.10.2013, 15:24

Paul8

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, dass ich doch eher $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ meine, schuldigung. Für welche k wäre das denn sonst falsch?

22.10.2013, 15:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, es ist für alle $\begin{eqnarray*} k\leq -1 \end{eqnarray*}$ falsch bzw. undefiniert, hingegen alle $\begin{eqnarray*} k>-1 \end{eqnarray*}$ richtig

Aber mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hat sich das erübrigt.

22.10.2013, 15:37

Paul8

Auf diesen Beitrag antworten »

Und zu meiner Frage: Warum stimmt dann die Gleichung Big Laugh

22.10.2013, 15:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Für beliebige (auch reelle) $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ kannst du den Zähler $\begin{eqnarray*} s_n = \sum\limits_{i=1}^{n}i^{k} \end{eqnarray*}$ auffassen

(a) als Riemannsche Obersumme des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_0^n x^k ~ \dd x = \frac{n^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray*}$ ,

(b) als Riemannsche Untersumme des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_1^{n+1} x^k ~ \dd x = \frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1} \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du das perfekte Sandwich

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{k+1}}{(k+1)n^{k+1}} = \frac{1}{k+1} \leq \frac{s_n}{n^{k+1}} \leq \frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$

und kannst rechts zum Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ übergehen.

22.10.2013, 17:24

Paul8

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal Danke für deine Antwort.
Ich kann mir nicht so ganz erschließen warum du was machst und habe noch ein paar andere Fragen.
- Was ist ein Zähler?
- Warum benutzt du das Integral und worauf zielst du damit genau ab?
- Wie kann man den unteren rechtesten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ denn gegen Undendlich laufen lassen? Wie kommt man zu dem Ausdruck?
- Woher kommt der untere linke Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{n^{k+1}}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ ?
Tut mir echt Leid, wenn ich jetzt hier viele trivialen Fragen stelle, aber uns wird aufm Gymmi dazu nicht mehr beigebracht und fürs Studium müsste ich noch was warten.

22.10.2013, 19:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Paul8
- Was ist ein Zähler?

Oje, ich dachte das wäre Grundschule oder allenfalls Mittelstufe

$\begin{eqnarray*} \mbox{Bruch} = \frac{\mbox{Zähler}}{\mbox{Nenner}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Paul8
- Warum benutzt du das Integral und worauf zielst du damit genau ab?

Ich habe es deutlich genannt: Riemannsche Ober- und Untersummen

Schlag nochmal bei der Definition des Riemann-Integrals nach. Ist eine übliche Abschätzungspraktik bei Summen.

Zitat:

Original von Paul8
- Wie kann man den unteren rechtesten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ denn gegen Undendlich laufen lassen? Wie kommt man zu dem Ausdruck?
- Woher kommt der untere linke Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{n^{k+1}}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt reichts: Das sind Integralberechnungen sowie Grenzwertberechnungen auf so einfachem Level, und du willst jeden klitzekleinen Schritt extra erklärt haben - so geht das nicht. Bemühe dich etwas selbst.

22.10.2013, 22:28

Paul8

Auf diesen Beitrag antworten »

Schulding.. Das mit dem Zähler war ein Denkfehler, den Ausdruck habe ich ja selbst im Startpost verwendet..
Also ich habe jetzt deine Rechnung nachvollziehen können, Danke!
Ich habe auch mal gerade rungefragt. Niemand aus meinem Kurs kann $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ rechnen. Wo finde ich Informationen darüber wie man das rechnet? Mein Problem ist, dass k ja unbekannt ist und ich das nicht rechnen kann ohne die Klammer aufzulösen..

22.10.2013, 22:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Paul8
Ich habe auch mal gerade rungefragt. Niemand aus meinem Kurs kann $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ rechnen.

Was ist das denn für ein Kurs??? Das ist Schulstoff:

Mit ganz normalen Potenzregeln bekommt man

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k+1}}{n^{k+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{k+1} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{k+1} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Die restliche Argumentation bei der Grenzwertbildung rechts sollte nun aber wirklich kein Problem sein.

22.10.2013, 22:53

Paul8

Auf diesen Beitrag antworten »

Also so?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{k+1}-1}{(k+1)n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(k+1)}\cdot\frac{(n+1)^{k+1}}{n^{k+1}}-\frac{1}{(k+1)n^{k+1}}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(k+1)}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{k+1}-\frac{1}{(k+1)n^{k+1}}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(k+1)}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k+1}\right)-\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{(k+1)n^{k+1}}\right)=\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
Vielen Dank für deine Zeit und deine Geduld mit mir.

22.10.2013, 23:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihen

Verwandte Themen