Wegintegral mit Kreuzprodukt

22.10.2013, 18:17	Holger P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral mit Kreuzprodukt Hallo, ich soll folgenden Ausdruck berechnen: $\begin{eqnarray} \int_C \! \vec{F}(\vec {r}) \times d\vec r \end{eqnarray}$ Wobei C eine mit t parametrisierte Kurve ist. Gibt es dafür eine Rechenvorschrift?
22.10.2013, 19:07	Holger P.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn da statt des Kreuzproduktes ein Skalarprodukt steht ist der Fall ja klar. Aber auch dafür interessiert mich die Herleitung. Gilt: $\begin{eqnarray} d\vec r = \vec{ \dot {\gamma}}(t) dt \end{eqnarray}$ oder wie kommt man auf die Rechenvorschrift für das Wegintegral zweiter Ordnung?
23.10.2013, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich gilt "Arbeit=Kraft mal Weg". Entlang eines krummen Weges $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ verrichtet man also gegen eine Kraft $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ die Arbeit $\begin{eqnarray} W=\int \vec F\,\,d\vec x \end{eqnarray}$ Dieses Kurvenintegral 2.Art kann man in ein Kurvenintegral 1.Art umwandeln. Dazu benötigt man die Geschwindigkeit, welche bekanntlich die 1.Ableitung des Weges nach der Zeit ist, also $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}=\tfrac{d\vec x}{dt} \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich durch "Umstellen" $\begin{eqnarray} d\vec x=\dot {\vec x} dt \end{eqnarray}$ . Damit ersetzen wir im obigen Integral das Differenzial $\begin{eqnarray} d\vec x \end{eqnarray}$ und erhalten $\begin{eqnarray} W=\int \vec F \cdot \dot {\vec x}\,\,dt \end{eqnarray}$ Physikalisch ergibt sich dies aus der Integration der Beziehung "Leistung=Kraft mal Geschwindigkeit", also $\begin{eqnarray} P=\tfrac{dW}{dt}=\vec F\cdot \dot{\vec x} \end{eqnarray}$ ---------------------------------------- Analog berechnet man das folgende Kurvenintegral $\begin{eqnarray} I=\int \vec F \times d\vec x \end{eqnarray}$ Hat man die Kurve gemäß $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ parametriesiert, setzt man wie oben $\begin{eqnarray} d\vec x=\dot {\vec x} dt \end{eqnarray}$ und erhält $\begin{eqnarray} I=\int \vec F \times \dot {\vec x}\,\,dt=\int \begin{pmatrix} F_2\dot x_3-F_3\dot x_2 \\ F_3\dot x_1-F_1\dot x_3 \\ F_1\dot x_2-F_2\dot x_1 \end{pmatrix} \,\,dt=\begin{pmatrix} \int F_2\dot x_3-F_3\dot x_2\,\,dt \\\int F_3\dot x_1-F_1\dot x_3\,\,dt \\\int F_1\dot x_2-F_2\dot x_1\,\,dt \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man muss hier also 3 Integrale berechnen.

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