Beweis über ganze Zahlen

22.10.2013, 18:20

Ploki

Beweis über ganze Zahlen

Meine Frage:
[attach]31869[/attach]

Meine Ideen:
Also, ich fang mal an.

Wenn $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x}\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{x})^{n} = (\frac{x^{2}+1}{x})^{n} = \frac{(x^{2}+1)^{n}}{x^{n}} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

ich hab dann auch noch probiert $\begin{eqnarray*} (x^{2}+1)^{n} \end{eqnarray*}$ mit dem binomialkoeffizienten aufzuspalten, kam dann aber zu keinem Schluss. Habt ihr einen Tipp, wie ich den Beweis angehen soll?

lg Ploki

22.10.2013, 18:39

tmo

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Rechne doch mal $\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right) \end{eqnarray*}$ aus.

Das ist im Wesentlichen schon alles, was man für einen Induktionsbeweis braucht.

23.10.2013, 10:27

Ploki

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Danke für den tipp! Ich weiß leider nicht wie ich nun induzieren soll bzw was nun zu zeigen bleibt. :[

Ausmulzipliziert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x^{n+1}+\frac{x}{x^{n}}+\frac{x^{n}}{x}+\frac{1}{x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

23.10.2013, 10:45

Grautvornix

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Zitat:

Original von Ploki

Ausmulzipliziert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x^{n+1}+\frac{x}{x^{n}}+\frac{x^{n}}{x}+\frac{1}{x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit. Jetzt kürze doch mal die beiden mittleren Brüche.

23.10.2013, 14:24

Ploki

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Hab ich gemacht und wenn ich nun $\begin{eqnarray*} x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1} } \end{eqnarray*}$ abziehe, was ja nach induktionsvorraussetzung für n=0 und n=1 auch eine ganze Zahl ist, bleibt mir $\begin{eqnarray*} x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1} } \end{eqnarray*}$ übrig. Dieser Ausdruck ist wiederum aus Z, da eine ganze Zahl abgezogen von einem Produkt ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt.

Müsste passen oder?
Lg ploki

23.10.2013, 14:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ploki
was ja nach induktionsvorraussetzung für n=0 und n=1 auch eine ganze Zahl ist

Wenn du das so formulierst, kann dir leicht einer an den Wagen fahren.

Tatsächlich ist n=0 und n=1 der Induktionsanfang, während du hier im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (\leq n)\to n+1 \end{eqnarray*}$ die Ganzzahligkeit sowohl von $\begin{eqnarray*} x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1} } \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x^{n} + \frac{1}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ per Induktionsvoraussetzung nutzen darfst.

23.10.2013, 17:29

Ploki

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Danke für den Hinweis. Ich muss es erst sauber hinschreiben mit induktionsanfang etc.
Lg ploki

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