Gammafunktion Funktionalgleichung

22.10.2013, 22:30

Elder Titan

Gammafunktion Funktionalgleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich die Funktionalgleichung der Gammafunktion zeigen soll. Also, dass folgende Relation gilt:
$\begin{eqnarray*} \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \end{eqnarray*}$
Leider habe ich keine Ahnung wie ich da vor gehen soll.

Meine Ideen:
Irgendwo habe ich gelesen, dass das aus einer partiellen Integration folgt.
Wenn wir uns die Definition angucken gilt
$\begin{eqnarray*} \Gamma(z+1)= \int_0^{\infty} dt e^{-t} t^z \end{eqnarray*}$
Das kann ich doch nicht vernündtig partiell nach t intgrieren, da mein t^z ja nie verschwindet. Kann mir bitte jemand helfen?

22.10.2013, 22:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elder Titan
da mein t^z ja nie verschwindet

Es muss ja auch nicht verschwinden, sondern sich nur wandeln - in eine Potenz mit anderen Exponenten...

22.10.2013, 22:47

Elder Titan

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Vielen Dank! Das hätte ich nicht übersehen dürfen...
Ist das dann so richtig?
$\begin{eqnarray*} [-e^{-t} t^z]_0^\infty - \underbrace{\int_0^\infty e^{-t} z t^{z-1}}{=z\Gamma(z)} \ dt \Rightarrow lim (-e^{-t} t^z) - z\Gamma(z) = z\Gamma(z) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert verschwindet da die e-Funktion schneller ansteigt.

Kommt das so hin?

22.10.2013, 22:54

Elder Titan

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Vielen Dank! Das hätte ich nicht übersehen dürfen...
Ist das dann so richtig?
$\begin{eqnarray*} (-e^{-t} t^z)_0^\infty - \underbrace{\int_0^\infty e^{-t} z t^{z-1}}_{= z\Gamma(z)} dt \Rightarrow lim (-e^{-t} t^z) - z\Gamma(z) = z\Gamma(z) \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert verschwindet da die e-Funktion schneller ansteigt.

Kommt das so hin?

22.10.2013, 23:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elder Titan
$\begin{eqnarray*} (-e^{-t} t^z)_0^\infty - \underbrace{\int_0^\infty e^{-t} z t^{z-1}}_{= z\Gamma(z)} dt \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler vor dem Integral: Aus -(-...) wird +...

22.10.2013, 23:23

Elder Titan

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Stimmt, danke smile

Kannst du mir auch einen Tipp geben wie ich das zeigen kann?
$\begin{eqnarray*} \Gamma(n+1)=n! \end{eqnarray*}$

22.10.2013, 23:30

HAL 9000

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Wenn du die eben bewiesene Rekursionsformel mehrfach anwendest, bekommst du

$\begin{eqnarray*} \Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1)\Gamma(n-1) = \ldots = n!\cdot \Gamma(1) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ kennst du entweder bereits, oder kannst es leicht mit der Originaldefinition berechnen:

$\begin{eqnarray*} \Gamma(1) = \int\limits_0^{\infty} e^{-t} ~ \dd t = \ldots \end{eqnarray*}$

22.10.2013, 23:44

Elder Titan

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Ja, das habe ich ausgerechnet.
$\begin{eqnarray*} \Gamma(1)=1 \end{eqnarray*}$
und ich weiß auch, dass
$\begin{eqnarray*} n! = n(n-1)! \end{eqnarray*}$
ist, aber wie kommst du darauf, dass
$\begin{eqnarray*} n(n-1)\Gamma(n-1) = n! \Gamma(1) \end{eqnarray*}$
Auf diesen Schritt komme ich einfach nicht.

23.10.2013, 00:07

HAL 9000

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Nicht $\begin{eqnarray*} n(n-1)\Gamma(n-1) = n!\cdot \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} n(n-1)\Gamma(n-1) = \ldots = n!\cdot \Gamma(1) \end{eqnarray*}$ . Denk mal ein bisschen drüber nach, was mit den ... gemeint sein könnte. Augenzwinkern

23.10.2013, 19:27

Elder Titan

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Ich benutze einfach mehrfach die Rekursionsformel, so dass ich zwangsläufig darauf komme! Vielen Dank ich habe das Problem lösen können!

Danke nochmal für die schnelle Hilfe, echt Klasse Augenzwinkern

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