GL/SL operieren transitiv

23.10.2013, 06:51

Mathelehrer

GL/SL operieren transitiv

Meine Frage:
Hallo,

habe folgende Aufgabe, wo ich Probleme habe.

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) GL(V) operiert transitiv auf V
b) GL(V) operiert transitiv auf V \{0}
c) SL(V) operiert transitiv auf V \{0}

Vielen Dank für eure Hilfe

Meine Ideen:
das brauche ich doch nur für SL zu zeigen, weil wenn M Element SL auch Element GL. Und wenn ich ja bereits zwei Vektoren gefunden habe für die das gilt gilt das ja immer noch wenn ich den Nullvektor wieder dazunehme.

Ist die Logik richtig?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

reicht das jetzt schon als Beweis?

23.10.2013, 07:45

tmo

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Deine Überlegungen bzgl. b) und c) machen Sinn.

Jedoch folgt daraus nicht, dass a) auch gilt. Die 0 ist doch Fixpunkt der Operation.

Und das, was dann am Ende kommt, hat mit einem Beweis nichts zu tun.

Du musst schon für 2 allgemeine Vektoren zeigen, dass die SL(V) den einen auf den anderen abbilden kann.

23.10.2013, 09:02

Mathelehrer

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was meint Fixpunkt der Operation?

Wenn ich zwei allgemeine Vektoren a,b aus V\{0} gefunden habe mit M aus GL so dass gilt
Ma = b, dann sind dass doch immernoch zwei allgemeine Vektoren aus V wenn ich die null wieder hinzunehme???

wäre dann für SL folgendes besser?

$\begin{eqnarray*} M \in GL, \vec{a} \vec{b} \in V{0} \end{eqnarray*}$

dann sei

$\begin{eqnarray*} M\vec{a}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

23.10.2013, 11:03

ollie3

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hallo,
falls tmo gerade nicht da ist, übernehme ich mal kurz.
Fixpunkt heisst, dass die null sowieso immer auf sich selbst abegebildet wird.
Das problem bei a) ist, ob auch andere vektoren ausser dem 0-vektor auf
0 abgebildet werden können. Nimm doch mal einen 2-dim. vektorraum und
siehe, ob es eine invertierbare matrix gibt, die (1,0) auf (0,0) abbilden kann...
gruss ollie3

24.10.2013, 07:03

Mathelehrer

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Moin,

vielen Dank.
a) habe ich denke ich verstanden.
Eben weil der Nullvektor jetzt im V-Raum drin ist, ist die operaation nicht mehr transitiv.
Weil es in deinem Beispiel ja keine (invertierbare) Matrix gibt die einen vektor auf den Nullvektor abbildet.

JEtzt brauch ich nur noch hilfe bei der c)
wie beweise ich das SL transitiv operiert???
mein Ansatz mit dem definieren geht wohl in die falsche Richtung

24.10.2013, 07:41

tmo

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Tatsächlich reicht für Transitivität ja, dass wir einen einzigen Vektor mit $\begin{eqnarray*} SL(V)v = V \end{eqnarray*}$ finden.

Nehmen wir uns also erst eine Basis $\begin{eqnarray*} v_1, \dotsc, v_n \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ soll unser Vektor sein.

Ist nun $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Vektor so definiere einfach $\begin{eqnarray*} \varphi(v_1)=b \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nun die Matrix von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis hinschreiben, ist die erste Spalte festgelegt, nämlich die Koeffizienten der Entwicklung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Alle anderen Spalten der Matrix kannst du noch frei wählen. Jetzt ist nur noch zu begründen, warum es eine Wahl gibt, so dass die Determinante 1 ist. Aber das ist eigentlich trivial.

24.10.2013, 12:07

Reksilat

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Aber nicht den 1-dimensionalen Fall vergessen. Augenzwinkern

24.10.2013, 19:42

Mathelehrer

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ok ich konnte das mit der Basis nachvollziehen.
$\begin{eqnarray*} \vec{v_{1} } \end{eqnarray*}$ ist ja von der Form 1,0,0...
Mit einer MAtrix multipliziert bringt immer die erste spalte. Was aber auch x mal der erste Baissvektor + y mal den zweiten Vektor und so weiter...
Det = 1 war ja Bedingung für die MAtrix also müssen die Einträge entsprechend gewählt werden

Was mit 1-dimensionaler Fall gemeint ist verwirrt mich jetzt aber etwas.
Eine Basis wäre dann einfach 1 die Matrix selbst ist auch 1 (weil det=1)daher bildet die Matrix ja jeden Basisvektor (egal welchen weil jeden kann ich ja letztlich dafür nehmen) auf sich selbst ab.
und dann ist ja eben $\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{v_{1} } \end{eqnarray*}$
es müsste aber $\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{w_{1} } \end{eqnarray*}$ für translativ gelten.

Also gilt translativ dann nur für Matrizen in SL mit Dim <=2 ???

25.10.2013, 09:45

Reksilat

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Zitat:

Det = 1 war ja Bedingung für die MAtrix also müssen die Einträge entsprechend gewählt werden

Das "entsprechend" musst Du aber noch etwas genauer erläutern.
Nimm einfach mal an, dass die Spalten Deiner Matrix $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_n \end{eqnarray*}$ sind. Wie kannst Du die Determinante nun auf 1 bringen, und die erste Spalte dabei fest lassen?

Zitat:

Also gilt translativ dann nur für Matrizen in SL mit Dim <=2 ???

Es heißt "transitiv" und es muss "Dim V >= 2" gelten. Sonst aber richtig. Augenzwinkern

Ist V eindimensional so gibt es aber immer noch eine Möglichkeit, wie SL transitiv sein kann. Dazu muss der Körper K welcher sein?

Gruß
Reksilat

25.10.2013, 13:28

Mathelehrer

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ich wähle die Einträge b2 bis bn so, das eine Dreiecksmatrix entsteht, wobei auf der Diagonale immer 1 steht bzw. auf einer Diagonalstelle der Kehrwert von a1,1
Weil Dreiecksmatrix sind die Vektoren lin. un. und ich kann die Hauptdiagonale multiplizieren.

Mit dem Körper bin ich jetzt wieder verwirrt...
hätte jetzt C gesagt, aber C ist nicht eindimensional
???

25.10.2013, 14:23

tmo

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Du musst noch ein bisschen aufpassen, denn $\begin{eqnarray*} a_{1,1} \end{eqnarray*}$ könnte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Aber wenn du deine Argumentation mit der Dreiecksmatrix (Tatsächlich gibt es etliche Wege hier zu argumentieren, weil man einfach so unglaublich viele Freiheiten hat) durchziehen willst, kannst du so vorgehen:

Tatsächlich sind ja zunächst $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vorgegeben. $\begin{eqnarray*} v_2 \dotsc, v_n \end{eqnarray*}$ kannst du ja sogar auch noch frei wählen.

Und nach entsprechender Wahl (nämlich $\begin{eqnarray*} b \notin \langle v_2, \dotsc, v_n \rangle \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} a_{1,1} \end{eqnarray*}$ tatsächlich nicht 0.

Zum eindimensionalen Fall. Es geht hier um einen eindimensionalen Vektorraum, d.h. bis auf Isomorphie K selbst.

Wie du schon festgestellt hast ist $\begin{eqnarray*} SL_1(K) = \{1\} \end{eqnarray*}$ . Was muss denn eine Menge erfüllen, damit die triviale Gruppe transitiv auf ihr operieren kann?

In unserem Fall wäre die Menge $\begin{eqnarray*} K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . Daran siehst du welcher Körper es sein muss.

25.10.2013, 17:41

Mathelehrer

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also erstmal wirklich vielen Dank für die Hilfe.
habs soweit verstanden. Werd zwar wohl einiges an Punkten wieder abgezogen bekommen, weils nicht so auf dem Blatt stehen wird wie Herr Prof es da stehen haben will aber ich habs verstanden.

Nur das mit dem eindimensionalen Fall seh ich einfach nicht. vielleicht ist's zu trivial oder ich zu blöd oder sonstwas...

also transitiv gilt wenn:
g $\begin{eqnarray*} \in SL(K)<br /> \vec{x} ,\vec{y} \in K \end{eqnarray*}$ \0

mit $\begin{eqnarray*} g\vec{x}=\vec{y} \end{eqnarray*}$
von N - R kommt aber immer wieder x selbst raus und nicht ein anderes y
????
bei c brauch ich einen realteil 1 und ein i um den Raum aufzuspannen
und die Länge der Basis ist die Dim des Raums also 2
zumindest stehts so in meinen LA unterlagen und bei mir viele ????????? verwirrt

25.10.2013, 19:42

Reksilat

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Zitat:

also transitiv gilt wenn:
g $\begin{eqnarray*} \in SL(K)<br /> \vec{x} ,\vec{y} \in K \end{eqnarray*}$ \0

mit $\begin{eqnarray*} g\vec{x}=\vec{y} \end{eqnarray*}$
von N - R kommt aber immer wieder x selbst raus und nicht ein anderes y
????
bei c brauch ich einen realteil 1 und ein i um den Raum aufzuspannen
und die Länge der Basis ist die Dim des Raums also 2
zumindest stehts so in meinen LA unterlagen und bei mir viele ????????? verwirrt

Ich verstehe kein Wort. unglücklich

Vor allem musst Du Deine Variablen vernünftig einführen.
Transitivität heißt nicht einfach: $\begin{eqnarray*} g\in {\rm SL}(K), x,y\in K\setminus \{0\}\text{ mit }gx=y \end{eqnarray*}$
sondern: $\begin{eqnarray*} \text{Für alle }x,y\in K\setminus \{0\}\text{ existiert ein }g\in{\rm SL}(K)\text{, mit }gx=y \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist als $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum 1-dimensional, als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum 2-dimensional. Ist hier aber nicht so wichtig. Wichtig ist die Frage, wie viele Elemente eine Menge nur haben kann, auf der die 1-Gruppe transitiv operiert.

25.10.2013, 20:04

Mathelehrer

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ich checks nicht...

in der Menge müssen ja mindesten zwei elemente sein, x und y.
aber in welcher Menge macht das neutrale Element 1 aus einem Element x ein anderes Element y
?????

25.10.2013, 20:06

Reksilat

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Nein, nirgends steht, dass K\{0} zwei verschiedene Elemente enthalten muss.

25.10.2013, 20:22

Mathelehrer

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SL operiert transitiv auf sich selbst???

wenn x = y sein kann, dann geht doch wieder jeder Körper (ohne 0)

???????????? aaaaaaaaahhhhh

25.10.2013, 21:58

Reksilat

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Eigentlich ist ja nur eine kleine Randnotiz, die wir noch abarbeiten wollen, aber Deine Antworten offenbaren eklatante schwächen beim Verstehen von Aussagen.
Wenn irgendwo steht "Für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in K\setminus\{0\}... \end{eqnarray*}$ ", dann dürfen x und y natürlich auch gleich sein, müssen sie aber nicht. Es soll eben für alle x und alle y gelten.

Außerdem habe ich ja oben schon geschrieben:

Zitat:

Wichtig ist die Frage, wie viele Elemente eine Menge nur haben kann, auf der die 1-Gruppe transitiv operiert.

26.10.2013, 08:25

Mathelehrer

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Ich weiss das es eine Randnotiz ist und es ist mit Sicherheit etwas sehr banales.

Aber wenn x = y sein kann:

1*0=0

die Bedingung für transitiv ist also erfüllt.

weiter oben steht das nur ein Element gefunden werden muss für das diese Bedingung gilt, und für 1 gilt das nunmal.

wenn das für alle x und alle y gelten muss ist die Anzahl der Elemente auch wieder egal, weil jedes Element mit 1 multipliziert wieder das Element selber ist und daher in meiner Menge liegt, egal ob die Menge nun 1 Element, 10 oder unendlich viele hat.

Irgendwo da drin steckt jetzt mein Denkfehler aber den finde und verstehe ich nicht...

Anderseits schreibst du "... eine Menge nur..." also kann die Menge nicht so viele Element haben. Dazu ist die Menge ein Körper.
Der kelinste Körper den ich kenne ist F2 aber 0 darf nicht enthalten sein.
daher ist nur ein Element enthalten nämlich 1 und 1*1=1, was die Bedingung für transitiv wieder erfüllt, wo ich aber wohl wieder bei meinem Denkfehler gelandet bin...

27.10.2013, 22:16

Reksilat

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Zitat:

1*0=0
die Bedingung für transitiv ist also erfüllt.

Was hat das eine mit dem anderen zu tun? verwirrt

Zitat:

weiter oben steht das nur ein Element gefunden werden muss für das diese Bedingung gilt, und für 1 gilt das nunmal.

Welche Bedingung?

Zitat:

wenn das für alle x und alle y gelten muss ist die Anzahl der Elemente auch wieder egal, weil jedes Element mit 1 multipliziert wieder das Element selber ist und daher in meiner Menge liegt, egal ob die Menge nun 1 Element, 10 oder unendlich viele hat.

Es geht hier um Transitivität und nicht um Abgeschlossenheit. Arbeite bitte mit der Definition der Transitivität. Ich kann bei Dir nicht erkennen, wo Du sie verwendest.
Nehmen wir mal als Beispiel $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und wählen zwei Elemente aus: $\begin{eqnarray*} x=5, y=-17 \end{eqnarray*}$ .
Findest Du nun ein Element in $\begin{eqnarray*} {\rm SL}(\mathbb{R})=\{1\} \end{eqnarray*}$ welches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abbildet?
Wo liegt das Problem?
In welchem Körper tritt dieses Problem nicht auf?

Zitat:

Anderseits schreibst du "... eine Menge nur..." also kann die Menge nicht so viele Element haben.

Mathematik ist kein Quiz! unglücklich

28.10.2013, 07:27

Mathelehrer

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Zitat:

Original von Mathelehrer

...und dann ist ja eben $\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{v_{1} } \end{eqnarray*}$
es müsste aber $\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{w_{1} } \end{eqnarray*}$ für translativ ("transitiv") gelten.

ich würde dann gerne wissen, welche der beiden Bedingungen für Transitivität gilt.
Im skript habe ich ziemlich genau stehen (hst mit V und G anstelle K und SL), dass für Transitivität das gilt:

Zitat:

Original von Reksilat
$\begin{eqnarray*} \text{Für alle }x,y\in K\setminus \{0\}\text{ existiert ein }g\in{\rm SL}(K)\text{, mit }gx=y \end{eqnarray*}$

deswegen bin ich immer davon ausgegangen, dass ich folgendes zeigen muss:
$\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{w_{1} } \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Reksilat
Nehmen wir mal als Beispiel $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und wählen zwei Elemente aus: $\begin{eqnarray*} x=5, y=-17 \end{eqnarray*}$ .

nein ich finde kein Element aus $\begin{eqnarray*} {\rm SL}(\mathbb{R})=\{1\} \end{eqnarray*}$ , weil
1*5 = 5 und nicht -17
Poblem ist, dass $\begin{eqnarray*} {\rm SL}(\mathbb{R})=\{1\} \end{eqnarray*}$ jeden Vektor immer auf sich selbst schickt.

Das Problem entsteht aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ \0, weil ich hier nur die 1 habe und damit $\begin{eqnarray*} M\vec{v_{1} } =\vec{w_{1} } \end{eqnarray*}$ erfüllt ist wobei aber in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \vec{v_{1} } =\vec{w_{1} } \end{eqnarray*}$ ist

wirds jetzt zumindest besser???

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