Landau-Symbole

23.10.2013, 09:22

Riemannson

Landau-Symbole

Hallo,

ich habe ein kleines Verständnisproblem mit den Landausymbolen. Gilt $\begin{eqnarray*} \log(n^n)\in\mathcal O(\log(n!)) \end{eqnarray*}$ ?

dann müsste doch aber $\begin{eqnarray*} n^n\leq c\cdot n! \end{eqnarray*}$ gelten oder?
Es gilt doch aber $\begin{eqnarray*} n!\leq n^n \end{eqnarray*}$

23.10.2013, 12:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Riemannson
dann müsste doch aber $\begin{eqnarray*} n^n\leq c\cdot n! \end{eqnarray*}$ gelten oder?

Irrtum: $\begin{eqnarray*} \log(n^n)\in\mathcal O(\log(n!)) \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} n^n\in\mathcal O(n!) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Ersteres fordert die Existenz eines $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \log(n^n) \leq c \log(n!) \end{eqnarray*}$ , letzteres aber ein $\begin{eqnarray*} c'>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n^n \leq c' n! \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich gilt hier ersteres, aber letzteres nicht. Augenzwinkern

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