Beweis einer These Stammfunktion Konstante

23.10.2013, 15:06

masfjdasghas

Beweis einer These Stammfunktion Konstante

Meine Frage:
Könnt ihr mir helfen?
Sind F und G Stammfunktionen der gleichen Funktion f, dann gibt es eine Konstante c mit G(x)=F(x)+c.
Meine Frage nun, wieso ist der Satz richtig? Wie kann ich es Beweisen?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man die Differenzfunktion F?G ableiten soll...
ABER FRAGE JETZT, WIE funktioniert das?
HILFE HILFE, kann es mir jemand vorrechnen, bzw zeigen?

23.10.2013, 15:21

jimmyt

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Wie ist die Stammfunktion allgemein definiert?
Wie lautet die Ableitungsregel für eine Konstante?

23.10.2013, 15:29

masfjdasghas

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Für die Stammfunktion haben wir uns folgendes aufgeschrieben:
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x € I gilt: F'(x)=f(x)
Ableitungsregel für eine Konstante:
(a)' = 0 Die Ableitung einer Konstanten ist Null.

23.10.2013, 15:40

jimmyt

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Zitat:

Original von masfjdasghas
...
Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x € I gilt: F'(x)=f(x)
Ableitungsregel für eine Konstante:
(a)' = 0 Die Ableitung einer Konstanten ist Null.

Genau. Das ist es.
Dann gilt für

Zitat:

Original von masfjdasghas
...
Sind F und G Stammfunktionen der gleichen Funktion f, dann gibt es eine Konstante c mit G(x)=F(x)+c.

folgendes:

$\begin{eqnarray*} G(x)=F(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow G(x)'=F(x)'+c' \quad \Longrightarrow \quad G(x)'=F(x)'+0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow G(x)'=F(x)' \quad \Longrightarrow \quad f =f \quad \Box \end{eqnarray*}$

23.10.2013, 15:52

masfjdasghas

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Also ist &#8747 traurig

F−G)¹dx=F¹−G¹dx=F¹dx−G¹dx=0dx
Das habe ich in der Zeit auch geschafft, aber was dann?
Wie finde ich daraus einen Beweis?

23.10.2013, 15:54

Equester

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Ich befürchte das ist nicht ausreichend verwirrt

.

Es ist damit nur gezeigt, dass F(x) eine Stammfunktion ist und dann auch F(x)+c, nicht aber, dass diese immer diese Gestalt hat.

Differenzenfunktion wäre hier ein Stichwort.

Wink

P.S.: Wie ich sehe, hast du die Differenzenfunktion in deinem Eingangspost schon ins Spiel gebracht. Dann kann ich ja beruhigt einkaufen gehen. Viel Spaß noch.

23.10.2013, 15:57

masfjdasghas

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Daf+r haben wir uns aufgeschrieben:
Eine Differenzfunktion ist die Differenz zweier Funktionen.
Ist d die Differenzfunktion, dann gilt beispielsweise
d(x)=f(x)-g(x).

Was bringt mich das aber damit weiter?

23.10.2013, 16:39

Equester

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Richtig, wir haben in unserem Fall also
D(x) = F(x)-G(x)

Leite ab. Was passiert? Schlussfolgerung?

23.10.2013, 16:51

jimmyt

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Zitat:

Original von Equester
...
Es ist damit nur gezeigt, dass F(x) eine Stammfunktion ist und dann auch F(x)+c, nicht aber, dass diese immer diese Gestalt hat.

Differenzenfunktion wäre hier ein Stichwort.
...

Ok, vlt. war ich ein bischen voreilig. smile

Also ist zu zeigen, dass die Stammfunktionen einer Funktion f sich immer nur durch eine Konstante unterscheiden dürfen.
Und Stichwort ist Differenzfunktion.

Hmm ... ok, dann mit Differenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} d(x)'=(F-G)'= (F-(F+c))'= \dots = 0 \end{eqnarray*}$

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