Integrationsreihenfolge ändern

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Xbf Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsreihenfolge ändern
Meine Frage:
Berechne das Integral auf 2 Arten (Integrationsreihenfolge):



Meine Ideen:
Das so zu berechnen, wie es dort steht, stellt für mich kein Problem dar.
Das Ergebnis lautet .
"Normal" tausche ich die Reihenfolge so: .
Das ist hier aber nicht möglich, da das Ergebnis von x abhängig wäre. Ich muss das x irgendwie durch y ersetzen. Allerdings habe ich keine Ahnung wie.
Danke für eure Hilfe.

Gruß
Xbf
Xbf Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid für den Doppelpost. Folgendes habe ich rausbekommen:


Das stimmt offensichtlich nicht!

Auf die neuen Grenzen bin ich folgendermaßen gekommen:






Außerdem weiß ich das nach dem Ändern der Grenzen gelten muss:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir die Integrationsgrenzen an:



Indem du von bis variieren läßt und, ein solches fest gewählt, dann von bis durchläufst, erhältst du in der -Ebene alle Punkte des Trapezes mit den Ecken . Du hast also letztlich ein Integral über den Bereich :



Erstelle dir unbedingt eine Zeichnung. Wenn du jetzt mit der Integration über beginnst, also



mußt du so wählen, daß zu den -Werten im Intervall auf der -Achse auch -Werte im Trapez existieren. So ist z.B. kein zulässiger -Wert, denn rechts oder links von liegen keine Punkte von .

Leider lassen sich die -Grenzen nicht für das gesamte -Intervall einheitlich in Abhängigkeit von bestimmen. Du mußt in drei Teilintervalle zerlegen, so daß du über jedem Teilintervall die -Grenzen angeben kannst, anschließend mußt du die drei Integrale addieren. Die Zeichnung zeigt, wie die Einteilung vorzunehmen ist.
Xbf Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, nur nicht, dass wir uns missverstehen. Ich muss jetzt ja als erstes nach dx integrieren. Umgekehrt (zuerst nach dy) habe ich bereits gemacht. Meinst du das auch so?



Davon sind jetzt die Grenzen gesucht.

Auch anhand der Grafik weiß ich nicht, wie ich für y feste Zahlenwerte finde. Für x sind die Grenzen 0 und 2, dementsprechend für y -x und x+1.
Für y könnten diese 0 und 1 oder -2 und 3 lauten. Dementsprechend für x -y und y-1 (nach x umgestellt). Aber überall kommt ein falsches Ergebnis raus.
Und wie ich das in 3 Doppelintegrale aufteilen soll ist mir auch ein Rätsel.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wir meinen dasselbe. Die Frage ist nur, wo man anfängt zu zählen: innen oder außen. Reden wir also lieber vom äußeren und vom inneren Integral. Die äußere Integration soll jetzt über gehen. Die Figur zeigt dir:



Denn das ist der Bereich, wo Punkte liegen. Eigentlich könntest du also so anfangen:



Da man aber für die -Grenzen (genauer: es ist nur die untere Grenze) keine einheitlichen Terme in angeben kann, empfiehlt sich für eine Aufteilung:

Xbf Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Dank Leopold!
Aber lösen kann ich es noch immer nicht unglücklich







Da sind noch immer falsche (innere) Grenzen bei.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integrationsgebiet ist das Trapez . Bei deinem ersten Integral muß also bei fest gewähltem von bis integriert werden. Denn für diese Werte liegen die Punkte im Innern des Trapezes. Deine Wahl trifft dagegen Punkte außerhalb von . Richtig ist daher

Xbf Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Zunge
Du hast mir wirklich sehr geholfen.

Richtig ist dann:

liebe Grüße
Xbf
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