Untergruppe

06.08.2004, 16:23	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe Ich komme mit dem unteren Beispiel auf dieser Seite nicht ganz klar. Untergruppe "Ist beispielsweise \|G\| eine Primzahl, kann G nur einelementige Untergruppen enthalten. Die einzige solche ist aber {e}, also hat G dann keine nichttrivialen Untergruppen." Nehmen wir zB an, die Anzahl der Elemente \|G\| der Gruppe beträgt die Primzahl 11. Und wäre G der natürliche Zahlenbereich N. Dann ist G={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Wieso aber kann G nur einelementige Untergruppen enthalten? Das neutrale Element wäre hier die 0 richtig?
06.08.2004, 16:28	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder liegt das daran, dass eine Primzahl nur die Zahlen 1 und sich selbst als Teiler hat? siehe Satz von Lagrange: Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die Kardinalität der Gruppe G.
06.08.2004, 17:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beispiel-G hat ja schon einmal 12 Elemente! Und was ist überhaupt die Gruppenmultiplikation oder -addition? Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Gruppenordnung. (Das sieht man durch Zerlegung in Restklassen.) Da 11 eine Primzahl ist, hat 11 nur die beiden Teiler 1,11. Die einzigen Untergruppen der Gruppe G von der Ordnung 11 sind also {e} und G selbst. Jedes Element von G ungleich e erzeugt G. Damit ist G eine zyklische Gruppe.
06.08.2004, 17:44	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denk mal das Verknüpfungszeichen ist in dem Beispiel unerheblich. Also hatte ich Recht :P G hat keine nichttrivialen Untergruppen. Jetzt muss ich noch rausfinden was eine zyklische Gruppe ist lol
06.08.2004, 17:51	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, kannst du mir bitte erklären was eine Faktorgruppe ist?! mein Wissen dazu: Untergruppen, die unter der Konjugation fest bleiben, heißen Normalteiler. Sie dienen der Erzeugung von Faktorgruppen. Konjugation: a und b sind zueinander konjugiert (paarweise verbunden), wenn es ein Gruppenelement c gibt, so dass b = c - 1ac ist. Normalteiler: eine Untergruppe U wenn für alle a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M und b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U gilt $\begin{eqnarray} aba^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U.
06.08.2004, 18:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zyklische Gruppe der Ordnung n ist bis auf Isomorphe die Faktorgruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \ = \ \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Am besten stellst du dir sie so vor: Du nimmst ein Symbol a und bildest die Symbole $\begin{eqnarray} a^0,a^1,a^2,a^3,...,a^{n-1} \end{eqnarray}$ Diese n Objekte siehst du als verschieden an. Du multiplizierst jetzt nach dem Potenzgesetz: $\begin{eqnarray} a^j a^k \ = \ a^{j+k} \end{eqnarray}$ Und wenn dein Exponent j+k über n hinausgeht, so ziehst du einfach n ab. Das neutrale Element e der so erzeugten zyklischen Gruppe ist $\begin{eqnarray} e=a^0 \end{eqnarray}$
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