Grenzwert/Konvergenz einer Zahlenfolge

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neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert/Konvergenz einer Zahlenfolge
Hallo,
ich möchte eine Zahlenfolge auf Konvergenz prüfen und einen möglichen Grenzwert angeben.

Die erste wäre:



Was haben ich bis jetzt zu Konvergenz von Folgen gelernt:

Wir haben in der Vorlesung eingeführt, dass eine Folge mit konvergent mit dem Grenzwert g ist, wenn für alle ein Index existiert, dass für alle gilt .


Jetzt weiß ich aber leider nicht wie ich das hier anwenden kann?

Intuitiv würde ich natürlich sagen, dass die Folge gegen 0 geht, wenn k beliebig groß wird und somit auch konvergiert, aber wie weist man sowas nach? traurig

Vielen Dank!
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert / Kovergenz einer Zahlenfolge
Was würdest du denn vermuten wogegen das konvergiert?



Angenommen wir haben jetzt eine Vermutung für unseren Grenzwert , die Definition hast ja gegeben, sie sagt wir haben ein beliebiges gegeben und sollen nun ein finden, so dass



für alle ist.

Ich mache dir den Schritt mal am beispiel vor. Ich behaupte diese Folge konvergiert gegen . Also sei vorgegeben, dann



Nun ist doch für alle der Bruch positiv, d.h. ich kann die Betragsstriche weglassen und erhalte damit



Nun setzte ich als die kleinste ganze Zahl die größer als ist. Damit ist die konvergenz gegen gezeigt.
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird aber doch meistens als sehr kleiner Wert angenommen, dann müsste bei doch ein ziemlich großer Wert sein oder?

Oder ist z.B. 0,000000001 bei ausgeschlossen? verwirrt

Vielen Dank!
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das analog auf:



beziehe.



Annahme












Hier sehe ich meine Annahme irgendwie nicht bestätigt. traurig
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von neuling_
Es wird aber doch meistens als sehr kleiner Wert angenommen, dann müsste bei doch ein ziemlich großer Wert sein oder?

Oder ist z.B. 0,000000001 bei ausgeschlossen? verwirrt

Vielen Dank!


Ja das ist im Allgemeinen sehr klein. Aber daher ist es auch logisch, dass das sehr groß wird. Das heißt aber nur, dass die diese durch das epsilon gegebene Schranke erst für alle ab diesen erfüllt wird. Also ist deine intuition vollkommen korrekt.

Nun zu deiner Rechnung im zweiten Beitrag. Also du hast schon richtig angenommen, dass es sich auch bei deiner Folge um eine Nullfolge handelt.

im Schritt

Zitat:




um dir das ganze mal bildlich zu machen ... nehm dir ein karriertes Blatt skizziere die zahlengerade und wähle auf der x-Achse 2 kästschen Abstand ... also 1 - 2 kästschen - 2 - 2 kästschen - 3 und so weiter...

nun wendest du auf der y-achse den abstand von 8 kästschen (du musst nur bis eins kommen)

jetzt zeichnest du in den grafen die folge 1/n ein ... also (1,1), (2,1/2), (3,1/3) usw ...

als nächstes malst du dir mal eine parallele zur x-achse auf höhe ein halb. ab welchen n liegen dann die folgenglieder unter dieser grenze? ... in wie weit hängt das mit meiner argumentation in meinem ersten posts zusammen?
bist du schon fast fertig. wir gucken uns noch einmal die definition an



musst du argumentieren warum du die betragsstriche weglassen kannst (Tipp: ist ein analoger Fall zu meiner Argumentation)

mit

Zitat:
.

bist du schon fast fertig. Nach defi soll es zu jedem soll es ein geben, das er abstand zwischen grenzwert und folgeglied ab diesem kleiner als ist. Mit diesem Schritt aber hast du ja ganz viele gefunden die das erfüllen. nämlich jedes ganze das größer als der term auf der linken seite ist =)
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich auch unter Zuhilfenahme der allgemeinen Nullfolge argumentieren und z.B. sagen



=>konvergiert gegen Null

Es gibt ja so ein Konvergenzkriterium, dass bei zwei konvergenten Folgen gilt oder? Wink
 
 
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du auch tun, wenn du bewiesen hast, dass es in der Tat eine Nullfolge ist.
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt also bei meiner anderen Vorgehensweise gar keinen konkreten Index ab dem die Definition erfüllt ist?

Oder kann ich in diesem Fall konkret schreiben:
Konvergenz erfüllt für alle verwirrt

Vielen Dank! smile
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier noch mehrere Zahlenfolgen zu untersuchen

(1)


Wie kann ich diese untersuchen, weil ja alterniert, wie kann ich hier eine Konvergenz nachweisen?

Wenn ich hier wieder annehme


Müsste ich dann eine Fallunterscheidung wegen des Betrages durchführen?

(2)


Das hier nach k umzustellen wie oben geschehen, wäre auch sehr schwierig oder?

smile
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von neuling_
Es gibt also bei meiner anderen Vorgehensweise gar keinen konkreten Index ab dem die Definition erfüllt ist?


Doch das gibt es, dabei versteckt es sich in der Tatsache das die "Hilfsfolge" einen solches Wert besitzt. Durch kenntnis darüber schließt du darauf, dass die Folge auch einen haben muss.
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von neuling_
Oder kann ich in diesem Fall konkret schreiben:
Konvergenz erfüllt für alle verwirrt


Das wären potentielle Kanidaten für solch ein , beachte, aber dass wenn du anstelle von wird es falsch, da die Definition schon wirklich verlangt.

Habe einen latex-Code geändert

okay noch eine Korrektur, dieses soll nach Definition ebenfalls eine ganze Zahl sein!
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Zu

Zitat:
Original von neuling_





Ja natürlich ist es für den praktischen Gebrauch nicht sinnvoll starr auf die Definition zurück zu greifen. Eher würde man das Verfahren verwenden was du schon einmal angegeben hast.



für

Gott hier war ich nen bissel ins trudeln gekommen Hammer
DaCaeser Auf diesen Beitrag antworten »

Nun zum anderen Teil

Zitat:
Original von neuling_





Hier würde ich die Folge aufsplitten und zwar einmal in die Teilfolge für und

so betrachtest du letztlich in dem einen Fall

und

beide Folgen werden sehr wahrscheinlich ihren eigenend Häufungspunkt haben (hattest du den Begriff schon), wie auch immer wenn beide gegen den selben Wert konvergieren hat die gesamte Folge in diesem Fall einen Grenzwert, nämlich den gegen den beide konvergieren.

Meine Argumentation, solltest du in jedem Fall mit Arguementen aus der Vorlesung von dir anreichern. An und für sich ist wichtig, dass du die Definition der konvergenz verstanden hast. Die "praktischen" Methoden sind dann handwerkzeug.
neuling_ Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weiß ich denn eigentlich überhaupt, dass mein vermuteter Grenzwert jetzt richtig ist bei und für alle

erfüllt ist?

Das sehe ich irgendwie nicht, wie würde ich denn sehen, wenn es nicht gehen würde? traurig

Danke!
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