Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?

24.10.2013, 05:57

Tribar

RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?

So , hallo , hab mich erstmal neu registriert bei euch smile

Meine Frage:
Hallo , ich hab die Matrix

4x-1 , -3+x
x+1 , 0

und suche diejenigen Werte , für die x aus R neg definit ist .

Meine Ideen:
Ich kann zwar anhand einer anderen Matrix ohne den Variablen die jeweilige Definitheit erkennen ... aber hier verstehe ich noch nicht wie ich vorgehen sollte.

Über Hilfe freue ich mich sehr !! lg !!

meine idee :

ich dachte mir 4x-1=0 ... x=(1/4)
und für 2x-(x^2)+3=0 ...x= -1

Oder ist das zu einfach gelöst verwirrt

? lg !!

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit's nicht so aussieht, als ob schon jemand hilft. Steffen

24.10.2013, 09:46

DaCaeser

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?
Wie hast du denn die Definit definiert?

Da gibts es schon verschiedene Wege (alle eigentlich äquivalent) also mit Eigenwerte ... dafür solltest du das Charakteristische Polynom bestimmen und schauen, wann seine Nullstellen grundlegend negativ werden ... oder hast du sie über

$\begin{eqnarray*} x^T \cdot A \cdot x \leq 0 \end{eqnarray*}$

für alle zwei stelligen Vektoren definiert? So nehm dir einfach einen Vektor und guck welche bedingugn ein Potentielles x erfüllen muss.

24.10.2013, 20:16

Tribar

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?
Hallo , vielen Dank für deine Unterstützung .
Eine Matrix ist negativ definit , wenn alle geraden Hauptminoren positiv sind und alle ungeraden Hauptminoren negativ sind.

Ich schätze mal , dass das bedeutet (4x-1)soll kleiner als 0 sein und das passiert ( wie ich denke ) ja erst ab Wert kleiner als 0,25 ... ( weil (0,24*x)-1 wäre ja schon negativ , oder ? )

und (-x^2)+2x+3 soll positiv sein bzw größer 0 ... un das dürfte erst passieren ab -1 ...also bei -0,9 zum Beispiel ...

ich verstehe zugegeben nicht , ob ichs verstanden habe ^^
oder ist das komplett falsch ? lg und danke nochmal für deine Hilfe !!! smile

24.10.2013, 20:24

Tribar

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?
ich hab heute einen Kollegen gefragt , er sagt er hat das gleiche
x element aus ]-1 , 0,25 [

kann das sein ? lg smile

25.10.2013, 22:12

URL

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?
ich denke, das ist falsch. Setze x=0 und berechne den Wert für den Vektor (1,-2). Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt da 3 heraus.
Funktioniert das Kriterium mit den Hauptminoren nur für symmetrische Matrizen? verwirrt

26.10.2013, 09:42

Leopold

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Ich schreibe lieber $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 4 \lambda - 1 & -3 + \lambda \\ \lambda + 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man hat nun die quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (4 \lambda - 1) x^2 + 2 (\lambda - 1) xy \, , \ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

zu studieren. Für $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 3 x^2 \end{eqnarray*}$ und nimmt daher niemals negative, aber beliebig große positive Werte an. Daher sei jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ erhält man

$\begin{eqnarray*} f(1,y) = 2 (\lambda - 1) y + 4 \lambda - 1 \end{eqnarray*}$

Die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} y \mapsto f(1,y) \end{eqnarray*}$ ist vom Grad $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , nimmt also dem Betrage nach beliebig große positive wie auch negative Werte an.

26.10.2013, 12:51

RavenOnJ

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?

Zitat:

Original von URL

Funktioniert das Kriterium mit den Hauptminoren nur für symmetrische Matrizen? verwirrt

Wenn die Matrix nicht symmetrisch ist, dann kann man die Betrachtung mit den Hauptminoren für den symmetrischen Anteil $\begin{eqnarray*} A_s = \frac 1 2 (A+A^T) \end{eqnarray*}$ durchführen, da für den antisymmetrischen Anteil $\begin{eqnarray*} A_a := \frac 1 2 (A-A^T) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}A_a\begin{pmatrix}x<br /> y\end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

26.10.2013, 15:53

URL

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RE: Für welche Werte x aus R ist Matrix neg. definit ?
@RavenOnJ: Die Symmetrisierung ist ja letztlich der Grund, warum man sich o.B.dA. auf die Betrachtung symmetrischer Matrizen zurückziehen kann.
Mir war nur nicht klar, ob man das Hauptminorenkrit auch ohne Symmetrisierung anwenden kann. Es geht nicht, wie das vorliegende Beispiel zeigt.

28.10.2013, 17:18

Tribar

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Hallo

Danke für eure Hilfe . Ja stimmt , es wäre wirklich besser ein anderes Zeichen als x zu verwenden .

Ich verstehe eigentlich jeden schritt von dir ( leopold) , aber wie komme ich jetzt dann zum Intervall hin ? ( weil das Intervall soll laut Professor nämlich auch stimmen )

lg smile

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