Separation

24.10.2013, 13:02	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Separation Moin, habe mal ne Frage zur unten stehenden Aufgabe. Unten stehende DGL solle durch Trennung der Variablen (Separation) gelöst werden. $\begin{eqnarray} y'{ e }^{ -x }={ y }^{ 2 }+9 \end{eqnarray}$ Über binomische Formel und 2 Multiplikationen komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac { y' }{ (y+3)(y-3) } ={ e }^{ x } \end{eqnarray}$ Über Partialbruchzerlegung ergibt sich bei mir: $\begin{eqnarray} \int { \frac { 1 }{ 6(y-3) } -\frac { 1 }{ 6(y+3) } dy=\int { { e }^{ x }dx } } \end{eqnarray}$ Die 1/6 ziehe ich aus beiden Brüchen und multipliziere sie auf die andere Seite der Gleichung, vor das Integral und integriere: $\begin{eqnarray} ln\left\| y-3 \right\| -ln\left\| y+3 \right\| = 6 { e }^{ x }+{ c }_{ 1 } \end{eqnarray}$ Über Anwendung des Logarithmengesetzes ergibt sich: $\begin{eqnarray} ln\left\| \frac { y-3 }{ y+3 } \right\| ={ 6 e }^{ x }+{ c }_{ 1 } \end{eqnarray}$ Vereinfacht: $\begin{eqnarray} \frac { y-3 }{ y+3 } ={ e }^{ \frac { 1 }{ 6 } { e }^{ x }+{ c }_{ 1 } } \end{eqnarray}$ Ist das bisher richtig? Falls dem so sein sollte, wie kann ich hier nach y auflösen? Danke!
24.10.2013, 13:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separation leider nein $\begin{eqnarray} (y+3)(y-3) \neq y^2 +9 \end{eqnarray}$
24.10.2013, 13:58	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separation Ach du Schande... ja da habe ich ja total Mist gebaut. Ehm, dann lass es mich nochmal versuchen. Separation liefert: $\begin{eqnarray} \frac { y' }{ { y }^{ 2 }+9 } ={ e }^{ x } \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} \int { \frac { 1 }{ { y }^{ 2 }+9 } } dy=\int { { e }^{ x }dx } \end{eqnarray}$ Integration: $\begin{eqnarray} { \frac { ln\left\| { y }^{ 2 }+9 \right\| }{ 2y } }={ e }^{ x }+c \end{eqnarray}$ Bisher richtig? Falls ja, wie stelle ich diesen Term am einfachsten nach y um? Den ln bekomme ich durch Basis e "weg". Aber ist das der einfachste Weg oder sollte erst eine Multiplikation mit 2y erfolgen? Dann hätte ich aber ja y auf beiden Seiten der Gleichung.
24.10.2013, 14:15	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separation leider nein Wie bist Du denn auf das linke Ergebnis gekommen? (in der letzten Zeile , das ist falsch) Tipp: -Klammere 9 im Nenner aus und setze diese als Konstante vor das Integral. -Substituiere z= y/3 -Du erhälst ein bekanntes Grundintegral.
24.10.2013, 15:01	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separation Sorry, bin heute etwas verplant. Über Substitution erhalte ich links: $\begin{eqnarray} \frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 } du } =\quad \frac { \arctan { (\frac { y }{ 3 } ) } }{ 3 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} { \arctan { (\frac { y }{ 3 } ) } }={ 3e }^{ x }+{ c }_{ 2 } \end{eqnarray}$ Ich würde nun den Tangens bilden: $\begin{eqnarray} \frac { y }{ 3 } =tan({ 3e }^{ x })+{ c }_{ 3 } \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} y=3tan({ 3e }^{ x })+{ c }_{ 4 } \end{eqnarray}$ Hm, besser?
24.10.2013, 15:14	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Separation nicht ganz, die Klammern fehlen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} arc tan(\frac{y}{3}) = e^x +C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arc tan(\frac{y}{3} )=3(e^x +C) \end{eqnarray}$ mit dem Ergebnis: $\begin{eqnarray} y= 3 tan (3(e^{x} +C)) \end{eqnarray}$ PS: Du brauchst nicht immer eine neue Konstante nehmen , eine reicht.
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24.10.2013, 15:40	AlexL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die ganze Zeit neue Konstanten eingeführt, um keine Faktoren davor zu haben. So habe ich bspw. $\begin{eqnarray} 3{ c }_{ 3 }={ c }_{ 4 } \end{eqnarray}$ gewählt. Sorry, das hätte ich ausführen sollen. So haben die das jedenfalls immer bei uns an der Uni gemacht, bzw. machen das so. Dann sollten unsere Ergebnisse übereinstimmen, oder? Vielen, vielen Dank für deine geduldige Hilfe!
24.10.2013, 16:40	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollten unsere Ergebnisse übereinstimmen, oder? ->nein Sicherlich kann man den z.B. den Ausdruck $\begin{eqnarray} 3C = C_{1} \end{eqnarray}$ setzen . Dein Ergebnis stimmt leider nicht, da hast Du Dich mit den Konstanten vertan. Du siehst das auch daran, das Dein Ergebnis nicht stimmt, wenn Du es ableitest und in die Gleichung einsetzt. (Probe) Wenn Du mit meinem Ergebnis die Probe machst, ist dagegen die Gleichung erfüllt, d.h. mein Ergebnis stimmt. Hinweis : Wenn Du bei Deinem Ergebnis die Klammern änderst zu: $\begin{eqnarray} 3 tan(3 e^x+ C_{4}) \end{eqnarray}$ stimmt auch Dein Ergebnis.

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