Monome

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Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »
Monome
Meine Frage:
Hallo. Bestimmen Sie im Ausdruck die Koeffizienten vor den Monomen:







Meine Ideen:
Ein Monom ist anders gesagt ein Polynom, das nur aus einem Glied besteht. Es ist also ein Produkt, bestehend aus einem Koeffizienten und Potenzen von einer, selten auch mehreren Variablen.

Nun gut. Eigentlich ist der Ausdruck klar, aber bei der Aufgabe, weiss ich dann nicht mehr weiter.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ist dir denn die Aufgabe ansich klar?

Würde dort stehen und du solltest den Koeffizienten des Monoms bestimmen, so wäre das einfach , denn . Den Koeffizienten vor liest man einfach ab.

Oder war die Aufgabe klar und du weißt nicht, wie man sie richtig angeht, ohne alles auszumultiplizieren?
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Hallo,

Ist dir denn die Aufgabe ansich klar?


Naja vielleicht nicht komplett. Wie man sie richtig angeht, ohne alles auszumultiplizieren ist mir auf Anhieb nicht so klar. Es geht doch aber um die Koeffizienten vor dem bei deinem Beispiel? In der Aufgabe gibt es aber keine Summanden? Wie soll ich die dann bestimmen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In der Aufgabe gibt es aber keine Summanden?


Nunja, wenn man das Teil ausmultiplizieren würde, gäbe es die.


Zitat:
Wie soll ich die dann bestimmen?

Wie man das ohne ausmultiplizieren macht, ist ja gerade der Kniff an der Aufgabe Augenzwinkern

Wende dochmal auf den binomischen Lehrsatz an. Vielleicht erkennst du dann schon, wie es funktioniert. (Ich habe dir mal extra Klammern eingebaut, damit du das Binom identifizieren kannst)
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:
In der Aufgabe gibt es aber keine Summanden?


Nunja, wenn man das Teil ausmultiplizieren würde, gäbe es die.

Ja dann gäbe es die. Aber wir wollen ja ohne das Ausmultiplizieren darauf kommen.

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:
Wie soll ich die dann bestimmen?

Wie man das ohne ausmultiplizieren macht, ist ja gerade der Kniff an der Aufgabe Augenzwinkern

Wende dochmal auf den binomischen Lehrsatz an. Vielleicht erkennst du dann schon, wie es funktioniert. (Ich habe dir mal extra Klammern eingebaut, damit du das Binom identifizieren kannst)




mit

Dann ist mein und mein k? Ein Danke an Dich und die Klammern, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich drei Summanden in den Lehrsatz hineinbekommen soll?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ein Danke an Dich und die Klammern, aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich drei Summanden in den Lehrsatz hineinbekommen soll?


Dann wende den Lehrsatz halt auf an und setze dann in der Summe für wieder ein.
 
 
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Dann wende den Lehrsatz halt auf an und setze dann in der Summe für wieder ein.

Verstehe ich gerade nicht soll ich den Index k Auswahlmöglichkeiten für die letzte Ziffer ändern? Nein quatsch sry habe ich missverstanden, ich versuche es dann mal. Danke.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »



z.B.

ist klar.

Zitat:
Original von Guppi12
Dann wende den Lehrsatz halt auf an und setze dann in der Summe für wieder ein.


Nun:

Man ich sitze daran schon 6 Std böse



Das kann doch jetzt nicht der Ernst sein, dass ich

auch
noch berechnen soll, dafür brauche ich zwei Tage... unglücklich

Dann hätte ich die Koeffizienten der Monome, aber das ist doch echt eine elende Rechnerei, kann man es gar nicht nennen, schlimmer als Kartoffelschälen im Knast :0
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das kann doch jetzt nicht der Ernst sein[...]


Ne, man soll sich halt schlau anstellen dabei Augenzwinkern

In kann nur der Summand überhaupt etwas zu dem Monom beitragen, da in allen anderen Summanden die Potenz von nicht ist. Keine Ahnung, warum du die anderen Summanden auch alle berechnet hast, das musst du dich selbst fragen verwirrt

So jetzt bitte das in diesem Term vorkommende betrachten und sagen, welchen Vorfaktor dort das Monom hat.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
In kann nur der Summand überhaupt etwas zu dem Monom beitragen, da in allen anderen Summanden die Potenz von nicht ist. Keine Ahnung, warum du die anderen Summanden auch alle berechnet hast, das musst du dich selbst fragen verwirrt

So jetzt bitte das in diesem Term vorkommende betrachten und sagen, welchen Vorfaktor dort das Monom hat.


Oh man Big Laugh ... Das mit dem verstehe ich damit man auf das kommt, aber wie ich darauf kommen soll was für einen Vorfaktor das Monom dort hat, weiß ich nicht unglücklich Und rechnen will ich nicht mehr...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

bei i) und ii) kommt dasselbe raus, bei iii) muss man gar nicht rechnen, nur nachdenken Augenzwinkern .
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke aber um ehrlich zu sein kann damit nichts anfangen. unglücklich

Ich weiß einfach nicht wie ich, dass ohne auszumultiplizieren "ablesen", "erschnüffeln" oder sonst wie man es nennen mag, herausfinden soll. Ich kriege es nicht gebacken, ich sehe es einfach nicht und meine Geduld ist nur noch in Micromengen vorhanden...
Zitat:
Original von Guppi12

In kann nur der Summand überhaupt etwas zu dem Monom beitragen, da in allen anderen Summanden die Potenz von nicht ist. Keine Ahnung, warum du die anderen Summanden auch alle berechnet hast, das musst du dich selbst fragen verwirrt

So jetzt bitte das in diesem Term vorkommende betrachten und sagen, welchen Vorfaktor dort das Monom hat.


Wieso ich die Summe berechnet habe, weil ich keine andere Idee hatte und nicht habe. Außerdem wenn man die Summe bei beginnt, muss man doch den Rest der Summe bilden, weil ich andernfalls es wieder nicht ablesen kann bzw. nicht weiß wie böse
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch oben schon geschrieben: (hab mal die Variablen umbenannt)



Jetzt wende das mal auf an und verbinde das Ergebnis mit


Du musst dir dann nur noch die richtigen Exponenten rauspicken.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Jetzt wende das mal auf an und verbinde das Ergebnis mit


Du musst dir dann nur noch die richtigen Exponenten rauspicken.


Was heißt bei dir anwenden? Und wie? Ich weiß nicht was ich tun soll, weil ich nicht weiß was sich hinter den Binomen zur Potenz genau versteckt. Dementsprechend weiß ich nicht wie ich auf
die Koeffizienten vor den Monomen:







kommen soll. Ich verstehe es einfach nicht deswegen helfen mir nicht wirklich irgendwelche "blinden" Tipps wenn ich nicht genau den Weg zum Ziel kenne. Ich kann nachvollziehen, dass man das entsprechend wählt, damit der Exponent für das stimmt, aber wie ich da weiter vorgehen soll weiß ich echt nicht.

Ich versuche das anzuwenden ? Auf
Zitat:
Original von RavenOnJ
Du hast doch oben schon geschrieben: (hab mal die Variablen umbenannt)



Ja und wie soll ich das jetzt anwenden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Welcher Summand in dieser Summe hat denn bei Exponenten und bei den Exponenten ? (Kleiner Tipp, das bedeutet, er hat bei den Exponenten ).

Das geht ganz analog zu dem, wie ich oben rausgefunden habe, welcher Summand oben zu gehörte. Genau aus dem Grund werde ich auch nicht mehr dazu schreiben. Du musst das eigentlich nur noch übertragen und mindestens diese Eigenleistung sollte drin sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du einsetzt.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:


Welcher Summand in dieser Summe hat denn bei Exponenten und bei den Exponenten ? (Kleiner Tipp, das bedeutet, er hat bei den Exponenten ).

Ja das erscheint mir nur komisch, daher bin ich unsicher. Für und erhalte ich die passenden Exponenten. Und aber das ist noch nicht der passende Koeffizient?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt ja auch noch der Faktor , der von vorher noch da war.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich mir auch gedacht.
Verstehe jedoch nicht ganz wie man bei dem Rumgewurschtel jetzt konkret darauf kam. Zuerst habe ich den richtigen Exponenten für gesucht. Und das gleiche habe ich dann für das gemacht. Und dann habe ich die "anderen" Vorfaktoren miteinander multipliziert. Ich verstehe jedoch nicht wieso gerade dann der richtige Koeffizienten herauskommen soll. Kann das irgendwie nicht nachvollziehen. verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Immerhin ist das erste Ergebnis jetzt richtig.

Ansonsten: Setz doch


einfach mal in


ein und guck, was rauskommt. Du solltest dann schon sehen, warum du genau dieses eine Produkt als Koeffizient brauchst.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist nur wieso? Das kann ich gar nicht nachvollziehen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Lies nochmal den letzten Post, habe ihn gerade editiert.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei dem ersten Koeffizienten sprich

erhält man

erhält man

erhält man

Nun wie man an die Koeffizienten kommt ist mir klar, nur wie begründe ich das? Ich kann ja wohl schlecht sagen ja ich multipliziere das mit dem und das ist richtig? Zwar steht in der Aufgabe nur bestimmen sie, das habe ich ja gemacht jetzt, aber wieso es genau den Koeffizienten ergibt, das weiß ich nicht. Bei einem Integral, kann ich es wieder ableiten und somit überprüfen, ob es wirklich die Stammfunktion ist. Da habe ich etwas in der Hand woran ich argumentieren kann - es ist so. Hier fehlt mir das Kunststückchen smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Multinomialtheorem (das natürlich aus dem binomischen Satz mittelbar folgt) wird die Argumentation etwas übersichtlicher:


Als Vorarbeit würde ich zunächst substituieren, so dass die einfache Multinompotenz entsteht, d.h. es geht dann um die Koeffizienten von

i)
ii)
iii)

Bei i) und auch ii) erhält man jeweils direkt den Multinomialkoeffizient .

Und bei iii) hat man wegen schlicht den Koeffizienten , d.h. diese Potenz kommt in gar nicht vor.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

iii) ist übrigens falsch, die anderen sind richtig. Denk mal darüber nach, was bei iii) rauskommen muss. Guck dir die Exponenten an. Was fällt dir auf?

Ich lös dir das mal ganz allgemein, vielleicht kommst du dann auf den Trichter.

Man will die Koeffizienten der Monome von berechnen. Dies geht einfach über die doppelte Anwendung der binomischen Formel


Also


Wenn du jetzt die Exponenten von a,b,c in den jeweiligen Monomen addierst, siehst du, dass immer n rauskommt.

Edit: die Koeffizienten sind die von HAL schon angesprochenen Multinomialkoeffizienten:



Für gilt immer
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok jetzt ist die Sache schon klarer danke sehr. Ja bei iii) kann ich ja das aus dem Teil i) mir herauspicken und kann ich aus dem Teil ii) nehmen. Bin gerade ein wenig verblüfft, wieso es falsch ist geschockt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

was ist 6+4+6? Nicht 15 auf alle Fälle, deswegen ist der Koeffizient 0.

Zitat:
Original von Rodrigos
Ja bei iii) kann ich ja das aus dem Teil i) mir herauspicken und kann ich aus dem Teil ii) nehmen.


Du hast es anscheinend noch nicht wirklich verstanden.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
was ist 6+4+6? Nicht 15 auf alle Fälle, deswegen ist der Koeffizient 0.

Welches 6+4+6? Nicht 15, sondern 0?

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von Rodrigos
Ja bei iii) kann ich ja das aus dem Teil i) mir herauspicken und kann ich aus dem Teil ii) nehmen.

Du hast es anscheinend noch nicht wirklich verstanden.

Aber wieso? Ich gehe doch genauso vor wie bei i) und ii) und dort ist es richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rodrigos
Ja bei iii) kann ich ja das aus dem Teil i) mir herauspicken und kann ich aus dem Teil ii) nehmen.


Dann solltest du wohl mal erklären, was du mit diesem Satz meinst.

Die 6+4+6 ist die Summe der Exponenten von und . Wenn diese in der Summe nicht 15 ergeben, ist der Koeffizient des Monoms 0. Bei iii) steht , die Summe der Exponenten ist also 16.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von Rodrigos
Ja bei iii) kann ich ja das aus dem Teil i) mir herauspicken und kann ich aus dem Teil ii) nehmen.

Dann solltest du wohl mal erklären, was du mit diesem Satz meinst.

Dass ich den Aufgabenteil iii) schon zu "90%" in den Aufgabenteilen i) und ii) erledigt habe, das einzige was ich muss ich die entsprechenden Vorfaktoren miteinander zu multiplizieren. Ich weiß nicht was ich falsch gemacht haben soll bzw. worauf du mit deinem Einwand hinaus willst.

iii)

Ich habe doch

Ich wähle geeignet damit ich auf:



Ich gucke jetzt gesondert den Rest an wie mir doch gesagt wurde



Ich brauche

Dies bekomme ich durch bzw. erzeuge ich durch: und



RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich weiter oben schon gezeigt hatte, muss die Summe der Exponenten in einem Monom mit einem von 0 verschiedenen Koeffizienten immer 15 ergeben. Warum? Weil in

jede Klammer zur Summe aller Exponenten eine 1 beiträgt, sodass die Summe der Exponenten für jedes Monom , also die Summe a+b+c, immer 15 ergeben muss. Dies ist eine zwingende Nebenbedingung. Wie ich (und HAL) jetzt schon mehrfach geschrieben habe, ist die Summe für das Monom aber 16, dieses Monom kommt also gar nicht vor, der Koeffizient muss also 0 sein!

Ich betrachte mal deinen Rechenweg (auch wenn ich das Verfahren nicht für gut halte):
Zitat:
Original von Rodrigos

iii)

Ich habe doch

Ich wähle geeignet damit ich auf:



Bis hierhin kann man das so machen. Dort steht also . Achte auf den Exponenten 9!

Zitat:

Ich gucke jetzt gesondert den Rest an wie mir doch gesagt wurde



Ich brauche

Dies bekomme ich durch bzw. erzeuge ich durch: und





Und hier taucht bei dir auf einmal der Exponent 4+6=10 auf. Ich hoffe, du siehst den Widerspruch.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Bis hierhin kann man das so machen. Dort steht also . Achte auf den Exponenten 9!

Zitat:

Ich gucke jetzt gesondert den Rest an wie mir doch gesagt wurde



Ich brauche

Dies bekomme ich durch bzw. erzeuge ich durch: und





Und hier taucht bei dir auf einmal der Exponent 4+6=10 auf. Ich hoffe, du siehst den Widerspruch.


Irgendwie sehe ich das nicht? Wo habe ich den bitte 4+6=10? Das steht doch nirgends geschockt .
Ja das Monom kommt echt nicht vor, das habe ich jetzt auch realisiert. Wieso soll ich dann das Monom bestimmen, wenn es doch gar nicht existiert, also jedenfalls nicht in diesem Binom? Also ist der Koeffizient 0, bezüglich dem Ausdruck . Bestimmen muss ich ihn dann auch nicht wenn er in dem Ausdruck nicht vorkommt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rodrigos
Zitat:
Original von RavenOnJ
Bis hierhin kann man das so machen. Dort steht also . Achte auf den Exponenten 9!

Zitat:

Ich gucke jetzt gesondert den Rest an wie mir doch gesagt wurde



Ich brauche

Dies bekomme ich durch bzw. erzeuge ich durch: und





Und hier taucht bei dir auf einmal der Exponent 4+6=10 auf. Ich hoffe, du siehst den Widerspruch.


Irgendwie sehe ich das nicht? Wo habe ich den bitte 4+6=10? Das steht doch nirgends geschockt .

Das steht nicht explizit da, aber implizit, indem du annimmst, das Monom käme in der Expansion eines Ausdrucks vor, mit noch unbekanntem q. Da 4+6=10 ist, kann man sofort schließen, dass q=10. Das Vorkommen des Exponenten 10 nimmst du also implizit an, auch wenn du es so nicht hingeschrieben hast.

Zitat:

Wieso soll ich dann das Monom bestimmen, wenn es doch gar nicht existiert, also jedenfalls nicht in diesem Binom? Also ist der Koeffizient 0, bezüglich dem Ausdruck . Bestimmen muss ich ihn dann auch nicht wenn er in dem Ausdruck nicht vorkommt?


Erst mal (auch wenn dir das nur als Wortklauberei erscheint, aber exakte Sprache ist sehr wichtig in der Mathematik): Du sollst nicht das Monom bestimmen, sondern den Koeffizienten davon. Dass der 0 ist, sollst du ja gerade rausbekommen, das ist der Witz bei der Aufgabe iii). Es hätte da auch stehen können "Bestimmen Sie ... den Koeffizienten des Monoms ", auch diese Aufgabe wäre legitim.
Rodrigos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Erst mal (auch wenn dir das nur als Wortklauberei erscheint, aber exakte Sprache ist sehr wichtig in der Mathematik): Du sollst nicht das Monom bestimmen, sondern den Koeffizienten davon. Dass der 0 ist, sollst du ja gerade rausbekommen, das ist der Witz bei der Aufgabe iii). Es hätte da auch stehen können "Bestimmen Sie ... den Koeffizienten des Monoms ", auch diese Aufgabe wäre legitim.


Ich weiß, ich meinte auch den Koeffizienten, entschuldige für meinen schlechten mathematischen Ausdruck. Schönes weekend dann Augenzwinkern
MfP Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
Danke auch von mir für diese tolle Hilfe hier, es hat mir sehr geholfen (Rodrigos und ich haben wohl das gleiche Übungsblatt...).

Viele Grüße aus Köln Augenzwinkern
Rockerklee Auf diesen Beitrag antworten »

Same here! Auch mir hat es sehr weitergeholfen! Mathe Lehramt Köln würde ich sagen. Man sieht sich heute nachmittag ... Augenzwinkern
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