Herleitung Lage des Inkreismittelpunktes

24.10.2013, 14:38	Chim	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Lage des Inkreismittelpunktes Meine Frage: Liebe Community, zuerst einmal tut es mir Leid, falls ich das falsche Forum erwischt habe, aber jetzt zur Sache: Ich versuche gerade die Formel zur Bestimmung der Lage des Inkreismittelpunktes eines Dreiecks nachzuvollziehen. Dazu habe ich hier: http://homepage.univie.ac.at/franz.embac...chwerpunkte.pdf, auf S. 17, Anhang 5 eine geeignete Herleitung gefunden, doch ich verstehe sie nicht vollends (dort sind A,B,C die Eckpunkte des Dreiecks und a,b,c die Längen der jeweils gegenüberliegenden Seiten). Klar ist, dass man den Schnittpunkt zweier Winkelsymmetralen als Inkreismittelpunkt auffasst. Die Subtraktion der beiden Geradengleichungen, aber dann kommt der entscheidende, aber für mich nicht nachvollziehbare Satz: "Der Vektor [...] kann nur dann gleich dem Nullvektor sein, wenn alle drei auftretenden Koeffizienten verschwinden[...]". Die Koeffizienten sind doch A,B,C oder? Was heißt aber "verschwinden"? Meine Ideen:* Heißt das wie in Ankerkung 16) (unten auf S.18), dass A=B=C=0 wird? Wenn ja, dann bekomme ich doch immer den Schnittpunkt (0\|0)... Das macht also keinen Sinn. Wenn es heißt, dass die Koeffizienten gleich 1 werden, dann macht das alles auch keinen Sinn, da sich dann alle Brüche ausgleichen. Und generell verstehe ich nicht, wie man aus dieser Formel mit zwei Parametern einmal t unabhängig von s definieren kann und umgekehrt. Ich bitte um Hilfe beim Verstehen dieser Herleitung. Vielen Dank im Voraus für alle Antworten! Mit freundlichen Grüßen Chim * Ich hab den entsprechenden Teil mal als Anhang reingestellt, da nicht gesagt ist, ob das pdf in ein paar Jahren noch vorhanden ist. Steffen
24.10.2013, 14:47	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Lage des Inkreismittelpunktes Herzlich willkommen im Matheboard! Die Antwort ist: "weder noch". Es geht nicht um die Punkte A, B oder C, sondern um die jeweiligen Koeffizienten davor, also die drei Terme in Klammern. Die müssen in der Tat alle drei Null sein, wodurch sich der Rest ergibt. Viele Grüße Steffen
24.10.2013, 15:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Inkreismittelpunkt $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ eines Dreiecks $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ gilt die Formel $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OI} = \frac{1}{a+b+c} \cdot \left( a \, \overrightarrow{OA} + b \, \overrightarrow{OB} + c \, \overrightarrow{OC} \right) \end{eqnarray}$ Hierbei sind $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ die Längen der Seiten, die den Punkten $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ gegenüberliegen. Der Punkt $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ darf ein beliebiger Punkt sein. 1. Wenn man speziell $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ als Ursprung eines zweidimensionalen Koordinatensystems wählt, werden die Vektoren zu Ortsvektoren, so daß man mit dieser Formel die Koordinaten des Inkreismittelpunktes ermitteln kann. 2. Man kann aber auch etwa $\begin{eqnarray} O=A \end{eqnarray}$ wählen. Die Formel wird dann zu $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AI} = \frac{1}{a+b+c} \cdot \left( b \, \overrightarrow{AB} + c \, \overrightarrow{AC} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt gilt: $\begin{eqnarray} \left\| b \, \overrightarrow{AB} \right\| = \|b\| \cdot \left\| \overrightarrow{AB} \right\| = bc \, , \ \ \left\| c \, \overrightarrow{AC} \right\| = bc \end{eqnarray}$ Die Vektoren $\begin{eqnarray} b \, \overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \, \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ sind somit gleichlang, ihre Summe ist daher der winkelhalbierende Vektor. Man erhält also zurück, daß $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ auf der Winkelhalbierenden des Winkels bei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ liegt (und kann sogar noch etwas über Teilverhältnisse ablesen). Entsprechend zeigen $\begin{eqnarray} O=B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O=C \end{eqnarray}$ , daß $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ auf den andern beiden Winkelhalbierenden liegt, mithin der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sein muß.
24.10.2013, 15:38	Chim	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also die Erklärung von Leopold verstehe ist ganz gut, auch wenn sie anders ist, als ich es erwartet hätte... Kann mir trotzdem jemand erklären, wie man dann auf t und s kommt? Setzt man die Koeffizienten auf 0 oder wie macht man das?
24.10.2013, 15:46	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man setzt z.B. $\begin{eqnarray} \frac tb - \frac sa = 0 \to t = \frac {sb}a \end{eqnarray}$ Dann kann man t beispielsweise in $\begin{eqnarray} 1- \frac sc - \frac tb - \frac tc = 0 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac {sb}a \end{eqnarray}$ ersetzen und nach s auflösen. Und diesen Term für s wiederum in $\begin{eqnarray} t = \frac {sb}a \end{eqnarray}$ einsetzen. Viele Grüße Steffen
24.10.2013, 16:06	Chim	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar! Vielen Dank! Wirklich toll, so ein kompetentes und freundliches Matheforum habe ich noch nicht gesehen.
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