Finden einer Menge

24.10.2013, 16:39

un1x

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Finden einer Menge

Hi

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Finden Sie eine Menge $\begin{eqnarray*} A = \{X _i | i \in I \} \end{eqnarray*}$ von Mengen, die folgende Eigenschaften hat

A ist überabzählbar (insebsondere muss also I überabzählbar sein)
Alle $\begin{eqnarray*} X _i \end{eqnarray*}$ sind unendilche teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb {N} \end{eqnarray*}$
Für beliebige verschiedene $\begin{eqnarray*} i,j \in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} X _i \cap X _j \end{eqnarray*}$ endlich ist

Meine ueberlegung:

Wenn eine Schnittmenge von 2 unendlichen Teilmengen endlich sein soll, dann sollte die Schnittmenge z.B die leere Menge sein. $\begin{eqnarray*} X _i \cap X _j = \{\} \end{eqnarray*}$

Um x beliebige unendliche Teilmengen zu bekommen, darf keine Teilmenge die selbe sein wie die andere. Eine Moeglichkeit:

$\begin{eqnarray*} X _i = \{ x \in \mathbb {N} | i \mbox{ mal die Zahl 0 vorkommt} \} \end{eqnarray*}$

Bsp.

$\begin{eqnarray*} X _0 = \{1,22,45,323\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X _1 = \{10,202,405,3230\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X _0 \cap X _1 = \{\} \end{eqnarray*}$

so sollte ich die letzten beiden Punkte eingehalten haben... aber wie weiter?

24.10.2013, 19:54

Guppi12

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Hallo,

ich habe selbst noch keine Lösung, nur einen Hinweis (und einen Push):

Zitat:

Wenn eine Schnittmenge von 2 unendlichen Teilmengen endlich sein soll, dann sollte die Schnittmenge z.B die leere Menge sein. $\begin{eqnarray*} X _i \cap X _j = \{\} \end{eqnarray*}$

Es können zumindest nicht alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt sein, denn das würde bedeuten, dass es für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\ \end{eqnarray*}$ nur höchstens ein $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} n\in X_i \end{eqnarray*}$ .

Das liefert einem aber eine Injektion von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , was nicht sein kann.

24.10.2013, 20:09

un1x

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Aber wenn man beliebig i,j wählt, die Schnittmenge nimmt und das Ergebnis eine leere Menge ergeben soll, dürfen ja keine Teilmengen gleich sein oder nicht?

24.10.2013, 20:13

Guppi12

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Zitat:

Aber wenn man beliebig i,j wählt, die Schnittmenge nimmt und das Ergebnis eine leere Menge ergeben soll

Die Schnittmengen müssen doch nicht leer sein, sondern nur endlich, wenn das, was oben steht, stimmt. War das ein Schreibfehler?

So oder so hast du Recht, es können keine 2 gleichen Teilmengen auftauchen.

24.10.2013, 20:19

un1x

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Das ist korrekt. Es muss nicht zwingend leere Menge ergeben. Es war nur ein Lösungsversuch von mir da mir nichts anderes eingefallen ist.

24.10.2013, 23:01

HAL 9000

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Idee:

Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die ist offenbar überabzählbar.

$\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ enthalte aufsteigend geordnet die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n_0<n_1<n_2<\ldots \end{eqnarray*}$ , dann definieren wir

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dass alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unendlich sind, ist klar.

Dass nun für $\begin{eqnarray*} i,j\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j \end{eqnarray*}$ immer endlich ist: Bitte mal selbst nachdenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.10.2013, 11:17

un1x

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Zitat:

Original von HAL 9000
Idee:

Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die ist offenbar überabzählbar.

$\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ enthalte aufsteigend geordnet die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n_0<n_1<n_2<\ldots \end{eqnarray*}$ , dann definieren wir

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dass alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unendlich sind, ist klar.

Dass nun für $\begin{eqnarray*} i,j\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j \end{eqnarray*}$ immer endlich ist: Bitte mal selbst nachdenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hi

Einfach zur Verstaendnisfrage:

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ 2^{n_0} + 2^{n_1} + ... \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ heisst das, dass $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eine unendliche Teilmenge ist.

Aber was unterscheidet $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ ? Wahrscheinlich verstehe ich den "aufsteigend geordnet" Teil nicht

25.10.2013, 12:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von un1x
Einfach zur Verstaendnisfrage:

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ 2^{n_0} + 2^{n_1} + ... \right\} \end{eqnarray*}$

Nein, sondern

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ 2^{n_0}, 2^{n_0} + 2^{n_1}, 2^{n_0} + 2^{n_1} + 2^{n_2}, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von un1x
Wenn $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ heisst das, dass $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eine unendliche Teilmenge ist.

Ja, eben $\begin{eqnarray*} i = \{n_0, n_1, n_2, \ldots \} \end{eqnarray*}$ .

Und "aufsteigend geordnet" ist nur die verbale Beschreibung von $\begin{eqnarray*} n_0<n_1<n_2<\ldots \end{eqnarray*}$ , da steht nichts weiter dahinter: Es soll eben nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ das kleinste Element von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ dann das zweitkleinste usw. - wenn man nämlich "nur" $\begin{eqnarray*} i = \{n_0, n_1, n_2, \ldots \} \end{eqnarray*}$ schreibt, ist das ja nicht gesichert.

25.10.2013, 12:42

un1x

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Ok. Zur vorstellung wuerde das etwa so aussehen

$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_1,n_2,...\}} := \left \{2^{n_0},2^{n_0} + 2^{n_1}, 2^{n_0}+2^{n_1}+2^{n_2}, ... \right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_2,n_3,...\}} := \left \{2^{n_0},2^{n_0} + 2^{n_2}, 2^{n_0}+2^{n_2}+2^{n_3}, ... \right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_1,n_2,...\}} \cap X_{\{n_0,n_2,n_3,...\}} \Leftrightarrow X_{\{n_1\}} := \left \{2^{n_0},2^{n_0} + 2^{n_1} \right \} \end{eqnarray*}$

Das ist wahrscheinlich mathematisch nicht korrekt aufgeschrieben aber ich stelle mir das so vor. Solange $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ dann ist die Schnittmengevon $\begin{eqnarray*} X_i \cap X_j \end{eqnarray*}$ abhaengig von der Schnittmenge $\begin{eqnarray*} i \cap j \end{eqnarray*}$ und somit endlich?

25.10.2013, 12:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von un1x
$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_1,n_2,...\}} \cap X_{\{n_0,n_2,n_3,...\}} \Leftrightarrow X_{\{n_1\}} := \left \{2^{n_0},2^{n_0} + 2^{n_1} \right \} \end{eqnarray*}$

Nein, in diesem speziellen Beispiel sogar nur

$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_1,n_2,...\}} \cap X_{\{n_0,n_2,n_3,...\}} = \left \{2^{n_0} \right \} \end{eqnarray*}$ ,

wenn du nochmal genauer drüber nachdenkst.

Zitat:

Original von un1x
Solange $\begin{eqnarray*} i \ne j \end{eqnarray*}$ dann ist die Schnittmengevon $\begin{eqnarray*} X_i \cap X_j \end{eqnarray*}$ abhaengig von der Schnittmenge $\begin{eqnarray*} i \cap j \end{eqnarray*}$ ?

Nicht so sehr die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} i \cap j \end{eqnarray*}$ ist das wesentliche, denn die kann ja auch unendlich sein.

Für eine ordentlich saubere Begündung sollte man den Fokus auf die kleinste natürliche Zahl richten, die in genau einer der beiden Indexmengen enthalten ist, symbolisch also $\begin{eqnarray*} \min(i \Delta j) \end{eqnarray*}$ (dabei kennzeichnet $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ wie üblich die symmetrische Differenz der beiden Mengen).

25.10.2013, 13:11

un1x

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Ich seh schon einige Rauchwolken ueber mir Big Laugh

Big Laugh

n ist ja eine x beliebige Zahl. $\begin{eqnarray*} min(i \Delta j) \end{eqnarray*}$ bedeuted die kleinste Zahl welche nur in einem der beiden vorkommt.

z.B

$\begin{eqnarray*} i := \{0,1,5,15\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j := \{0,1,2,4,19\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} min(i \Delta j) := \{2\} \end{eqnarray*}$

Aber wie du in meinem Beispiel auf nur $\begin{eqnarray*} \{2^{n_0}\} \end{eqnarray*}$ kommst verstehe ich nicht. Denn $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kommt ja in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vor?

25.10.2013, 13:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von un1x
z.B

$\begin{eqnarray*} i := \{0,1,5,15\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j := \{0,1,2,4,19\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} min(i \Delta j) := \{2\} \end{eqnarray*}$

Fast so ist es gemeint, es ist direkt $\begin{eqnarray*} \min(i \Delta j) = 2 \end{eqnarray*}$ eine Zahl, also keine Menge.

Zitat:

Original von un1x
Aber wie du in meinem Beispiel auf nur $\begin{eqnarray*} \{2^{n_0}\} \end{eqnarray*}$ kommst verstehe ich nicht. Denn $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kommt ja in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vor?

Ja - und? Was soll das "aber"? Ich verstehe den Einwand nicht. unglücklich

unglücklich

25.10.2013, 13:22

un1x

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Wenn ich mir das nochmals so anschaue, dann nehme ich meinen Einwand zurueck und behaupte das Gegenteil.. Das Ziel ist ja einfach eine endliche Menge zu bekommen.. Big Laugh

Big Laugh

Somit sind punkt 2 + 3 abgedeckt. Ich muss lediglich definieren, dass man $\begin{eqnarray*} min(i \Delta j) \end{eqnarray*}$ in Betracht zieht nehme ich an.

Indexmenge sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von , die ist offenbar überabzählbar.

Warum ist eine Menge aller unendlichen Teilmengen ueberabzaehlbar?

25.10.2013, 13:34

HAL 9000

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So sonderlich viel Gedanken über Mächtigkeitsfragen hast du dir aber noch nicht gemacht, oder? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von un1x
Warum ist eine Menge aller unendlichen Teilmengen ueberabzaehlbar?

Die Potenzmenge hat immer eine größere Mächtigkeit als die Menge selbst. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ selbt abzählbar ist, so ist deren Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) überabzählbar. Die Menge aller endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist hingegen abzählbar.

Unser $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist nun gerade die Mengendifferenz der beiden, also salopp gesagt "überabzählbar - abzählbar = überabzählbar". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von un1x
Ich muss lediglich definieren, dass man $\begin{eqnarray*} min(i \Delta j) \end{eqnarray*}$ in Betracht zieht nehme ich an.

Das ist keine Frage der Definition, sondern einfach Tatsache, dass dieser Wert beweistechnisch für die Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j \end{eqnarray*}$ eine entscheidende Rolle spielt. Wie das genau funktioniert, sollte man schon noch in einem ordentlich geführten Beweis darlegen

25.10.2013, 14:02

un1x

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Zitat:

Original von HAL 9000
Idee:

Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die ist offenbar überabzählbar.

$\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ enthalte aufsteigend geordnet die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n_0<n_1<n_2<\ldots \end{eqnarray*}$ , dann definieren wir

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dass alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unendlich sind, ist klar.

Dass nun für $\begin{eqnarray*} i,j\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ tatsächlich $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j \end{eqnarray*}$ immer endlich ist: Bitte mal selbst nachdenken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich versuche das mal zusammenzufassem:

Zitat:

Original von HAL 9000
Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die ist offenbar überabzählbar.

Indexmenge $\begin{eqnarray*} I := \mathcal{P}(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i := \left\{i \in I \wedge n \in \mathbb{N} | \{n_0, n_1, .. \} \wedge n_0 < n_1 < n_2 ... \right \} \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben?

$\begin{eqnarray*} X_i := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

So jetzt muss die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ welche die teilmengen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ beinhaltet, auch überabzählbar sein.

25.10.2013, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von un1x
Indexmenge $\begin{eqnarray*} I := \mathcal{P}(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

Falls du mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge meinst, dann ist das falsch: Die enthält auch die endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , und die können wir hier bei der Konstruktion nicht gebrauchen. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von un1x
$\begin{eqnarray*} i := \left\{i \in I \wedge n \in \mathbb{N} | \{n_0, n_1, .. \} \wedge n_0 < n_1 < n_2 ... \right \} \end{eqnarray*}$

Ziemlich verschwurbelt und mathematisch logisch mit einigen Pannen, und überhaupt halte ich die ganze Zeile für überflüssig, weil sie mehr verwirrt, als erklärt. Wenn, dann macht sowas Sinn bei der "kompakten" Definition der Mengen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} X_{\{n_0,n_1,\ldots\}} := \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n_0<n_1<\ldots \end{eqnarray*}$ .

25.10.2013, 14:17

un1x

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Hm das stimmt natürlich. Wie definiert man eine eine Potenymenge von N mit nur unendlichen Teilmengen? Oder sollte man dies einfach als Text definieren?

25.10.2013, 14:31

HAL 9000

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Off-topic

Ich hab gestern Abend ungefähr eine halbe Stunde nach einer Konstruktion dieser Mengen gesucht, mit diversen Irrwegen, bis es dann geklappt hat. Und dann habe ich sie nach besten Wissen und Gewissen m.E. mathematisch sauber aufgeschrieben. Das war dann wohl der Höhepunkt, denn seitdem geht es nur noch bergab.

Wenn man dann miterleben muss, dass nicht nur die Feinheiten der Konstruktion nicht verstanden werden, sondern ganz simpel erst die Konstruktion selbst falsch verstanden wird, und dann nach seitenlangen Erklärungen sogar das simple $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ falsch aufgefasst wird, dann ist das ganz schön frustrierend und dann denkt man sich: "War ich früher als Student auch so schlampig und hab mir überhaupt keine Mühe gegeben, mal die Definitionen und Formeln selbständig sorgfältig zu durchdenken?". unglücklich

unglücklich

Sorry, aber das musste jetzt mal sein.

25.10.2013, 14:57

un1x

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Ebenfalls Off-Topic

Falls ich dich mit meiner Unwissenheit und Schlampigkeit beleidigt haben sollte, dann war das nicht so gemeint. Deine geschickte Konstruktion und Bemühungen haben mir weiter geholfen und gezeigt wo meine Pendenzen sind. Das ist m. E das Ziel dieses Forums. Nicht die fertige Lösung presentiert zu bekommen sondern das Wissen um die Lösung erarbeiten zu können.

25.10.2013, 15:13

RavenOnJ

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Wobei die sehr feinsinnige Lösung von HAL eigentlich schon fast die ganze Arbeit ist. Es wäre nur noch zu zeigen, warum die Schnitte endlich sind.

25.10.2013, 15:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von un1x
Nicht die fertige Lösung presentiert zu bekommen

Allerdings ist genau das ja doch schon hier passiert - nur die fertige Begründung der Lösung war/ist noch zu erarbeiten.

EDIT: Hatte den Beitrag von RavenOnJ noch nicht gelesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.10.2013, 15:21

un1x

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Aber neben der Loesung habe ich weitere Informationen bekommen um auch eine eigene Loesung erarbeiten zu koennen.

lg

25.10.2013, 15:24

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von un1x
Das ist richtig. Aber neben der Loesung habe ich weitere Informationen bekommen um auch eine eigene Loesung erarbeiten zu koennen.

Das nenne ich Sportsgeist Freude

Freude

.

25.10.2013, 16:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest ermöglicht diese elegante Ankündigung einer eigenen Lösung, sich nicht mehr sklavisch an meine obige Empfehlung halten zu müssen und etwa den ausstehenden Beweis noch beenden zu müssen. smile

smile

OK, ich schreibe mal noch einen möglichen Beweis für die Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j \end{eqnarray*}$ bei meiner Konstruktion sauber auf:

$\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ bedeutet eine nichtleere symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} i\Delta j = (i\setminus j)\cup (j\setminus i) \end{eqnarray*}$ , d.h., es existiert dann auch eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} s = \min(i\Delta j) \end{eqnarray*}$ mit o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} s\in i, s\not\in j \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} i = \{n_0,n_1,\ldots\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j = \{n_0',n_1',\ldots\} \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass es ein $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} n_k = n_k' \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq k<t \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} n_t = s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_t'>s \end{eqnarray*}$ .

Jetzt betrachten wir die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ -Elemente $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\geq t \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ , da kommt jeweils der Wert

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^t 2^{n_k} \bmod 2^{s+1} = \sum_{k=0}^{t-1} 2^{n_k} + 2^s \bmod 2^{s+1} \end{eqnarray*}$

heraus, d.h. unabhängig von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Genau dasselbe machen wir für die $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ -Elemente $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m 2^{n_k'} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\geq t \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 2^{s+1} \end{eqnarray*}$ , in dem Fall erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^t 2^{n_k'} \bmod 2^{s+1} = \sum_{k=0}^{t-1} 2^{n_k} \bmod 2^{s+1} \end{eqnarray*}$

ebenfalls unabhängig von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und verschieden von dem Konstant-Modulo-Wert von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Damit können all diese Werte auch nicht gleich sein irgendwelchen Werten für $\begin{eqnarray*} m\geq t \end{eqnarray*}$ aus der Menge $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ .

Damit ist offenbar $\begin{eqnarray*} X_i\cap X_j = \left\{ \sum_{k=0}^m 2^{n_k} \biggm| m=0,1,\ldots,t-1 \right\} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} |X_i\cap X_j| = t \end{eqnarray*}$ und damit endlich.

25.10.2013, 17:14

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest doch einfach sagen, die Menge aus den ersten $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ Zahlen von $\begin{eqnarray*} i=\{n_0,n_1,\cdots\} \end{eqnarray*}$ also die Menge $\begin{eqnarray*} i_m :=\{n_0,n_1,\cdots,n_{m}\} \end{eqnarray*}$ (sowie entsprechend für $\begin{eqnarray*} j=\{n_0',n_1',\cdots\} \end{eqnarray*}$ ) steht für die Binärdarstellung der Zahl
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m 2^{n_k} \end{eqnarray*}$ . Analog für $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ .

Ab dem Index $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ unterscheiden sich die Mengen $\begin{eqnarray*} i_m, j_n, m,n \ge t \end{eqnarray*}$ , sie stehen also für unterschiedliche Zahlen, da die Binärdarstellung eindeutig ist. Also muss der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} X_i \cap X_j \end{eqnarray*}$ endlich sein.

25.10.2013, 17:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man auch sagen, ja. Ich drück mich halt gern kompliziert aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hätte auch von Anfang an sagen können, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ die Menge aller streng monoton wachsenden Folgen natürlicher Zahlen ist, dann hätte ich mir das Erklärungsblabla zu den $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ sparen können ... will sagen, es gibt immer Optimierungspotential in der Darstellung. Was am eigentlichen Inhalt aber nichts ändert.

28.10.2013, 18:59

un1x

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Was ist mit:
$\begin{eqnarray*} I = \{f | f:\mathbb {N} \rightarrow \{0,1\}\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt als Index eine x beliebige Zahlenfolge von 0 und 1er nehme

$\begin{eqnarray*} X_{10111011...} = \{1,10,101,1011,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_{10100011...} = \{1,10,101,1010,...\} \end{eqnarray*}$

Dann müsste der Durchschnitt der beiden Mengen ja auch endlich sein. Denn die ersten 3 stellen des Indizes sind gleich. Danach nicht mehr.

28.10.2013, 19:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist dann

$\begin{eqnarray*} X_{01000\ldots} = X_{001000\ldots} \end{eqnarray*}$ ,

also solltest du dir das nochmal überlegen mit den "x beliebige Zahlenfolge von 0 und 1". Mit einer kleinen Einschränkung bei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ wäre es allerdings Ok. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2013, 19:31

un1x

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Allerdings ist dann

$\begin{eqnarray*} X_{01000\ldots} = X_{001000\ldots} \end{eqnarray*}$ ,

also solltest du dir das nochmal überlegen mit den "x beliebige Zahlenfolge von 0 und 1". Mit einer kleinen Einschränkung bei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ wäre es allerdings Ok. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hi

Warum soll das das gleiche sein?

$\begin{eqnarray*} X_{01000\ldots} = \{0,01,010,0100,01000\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_{001000\ldots} = \{0,00,001,0010,00100,001000\} \end{eqnarray*}$

Oder dürfen die Zahlenfolgen einfach nicht mit 0 beginnen?

28.10.2013, 19:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend hast du die Aufgabenstellung "vergessen":

Zitat:

Original von un1x

A ist überabzählbar (insebsondere muss also I überabzählbar sein)
Alle $\begin{eqnarray*} X _i \end{eqnarray*}$ sind unendilche teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb {N} \end{eqnarray*}$
Für beliebige verschiedene $\begin{eqnarray*} i,j \in I \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} X _i \cap X _j \end{eqnarray*}$ endlich ist

Was steht denn da in Punkt 2? Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2013, 19:40

un1x

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Nicht nur vergessen sondern wohl auch nicht verstanden

Solange der Index eine x beliebige, unendliche Zahlenfolge von 0 und 1 ist, dann ist doch $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ auch eine unendliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb {N} \end{eqnarray*}$

28.10.2013, 19:45

HAL 9000

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Tja, du musst dich "erklären": Wenn du von Mengenelement 01 und 001 sprichst, welche natürlichen Zahlen stehen dann dahinter?

Ohne Erklärung habe ich es eben so aufgefasst, wie es üblich ist: Führende Nullen kann man (was den Zahlenwert betrifft) ersatzlos streichen, d.h. 01 und 001 sind beide die gleiche Zahl 1.

28.10.2013, 19:47

un1x

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm stimmt. Also kann ich definieren dass $\begin{eqnarray*} i \in I \wedge i > 0 \end{eqnarray*}$ D.h es darf einfach nicht mit 0 beginnen.

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