Beweis von Gleichheit zweier Mengenfamilien

24.10.2013, 19:59

Pazifik

Beweis von Gleichheit zweier Mengenfamilien

Edit (mY+): Keine Hilfeersuchen bitte, das ist unnötig und wird entfernt!

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter: Es seien X und Y Mengen, f: X --> Y eine Funktion, I eine Indexmenge und A $\begin{eqnarray*} \alpha \subset \end{eqnarray*}$ Y für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in \end{eqnarray*}$ I. z.Z. : $\begin{eqnarray*} f^{-1}\bigcup \alpha \in I = \bigcup \alpha \in I f^{-1} (A\alpha ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zunächst hatte ich das Problem vereinfacht und es für den Fall A $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ B bewiesen in der Hoffnung, so eine Struktur finden zu können. Aber ich komme einfach nicht darauf, wie ich die Definition der Vereinigung von Indexmengen dorthin einbauen soll. Ich hatte zunächst versucht, es über A $\begin{eqnarray*} \subseteq B genau dann, wenn \forall x\in A: x\in B \end{eqnarray*}$ und komme dann bis hierhin: $\begin{eqnarray*} Sei a\in A. \end{eqnarray*}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray*} a\in \left\{ x\in X:f(x)\in \left\{ z:\exists \alpha \in I:z\in A\alpha \right\} \right\} \end{eqnarray*}$ . Hier komme ich einfach nicht weiter. Ich glaube, es würde schon reichen, wenn mir jemand nen Tipp gäbe, wie man die Quantoren auflöst oder so. Fairnesshalber muss ich auch erwähnen, dass dies eine Aufgabe eines Übungsblatts ist, dessen erfolgreiche Bearbeitung meine Klausurnote verbessern kann. Ich will mir hier also keinen Vorteil erschleichen. Und sorry für die krude Darstellung, habe das erste Mal in Latex geschrieben. Vielen Dank im Voraus!

24.10.2013, 20:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pazifik
z.Z. : $\begin{eqnarray*} f^{-1}\bigcup \alpha \in I = \bigcup \alpha \in I f^{-1} (A\alpha ) \end{eqnarray*}$

Es ist anzunmehmen, dass mit diesem wirren Symbolhaufen

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} \right) = \bigcup_{\alpha \in I} f^{-1}\left( A_{\alpha} \right) \end{eqnarray*}$

gemeint ist.

24.10.2013, 20:46

Atlantik

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Also vorweg: Pazifik ist jetzt Atlantik. Vielen Dank für die Editierung, genau so stimmts, wie gesagt, hab das noch nicht so raus mit Latex

24.10.2013, 21:17

Guppi12

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Ich hoffe ich habe das richtig verstanden, dass HAL 9000 hauptsächlich Entzifferungsarbeit leisten wollte. Falls nicht, bin ich raus, sobald er wiederkommt.

Ich würde an deiner Stelle etwas mehr mit Worten arbeiten. Dann ist es für einen selber verständlicher, während man beweist Augenzwinkern

Kleines Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}\left( \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} \right) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} y\in\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} \alpha\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\in A_\alpha \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(...)... \end{eqnarray*}$

Versuch mal, in dem Stil selbst weiterzumachen, ok?

24.10.2013, 22:38

Atlantik

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Vielen Dank schonmal! Ich hab folgendermaßen weitergemacht: Dann liegt x in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\alpha) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} x\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in A\alpha \end{eqnarray*}$ . Dann ist x $\begin{eqnarray*} \in \bigcup \alpha \in I f^{-1} (A\alpha ) \end{eqnarray*}$

24.10.2013, 22:45

Guppi12

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Nanu? jetzt liegt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ? und danach sogar auch noch in $\begin{eqnarray*} A_\alpha \end{eqnarray*}$ ?

Das solltest du noch etwas ordnen Augenzwinkern

25.10.2013, 00:02

Atlantik

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OK sorry, das war unüberlegt. Dann liegt x in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\alpha ) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A\alpha ) \end{eqnarray*}$ . Dann liegt x in $\begin{eqnarray*} \bigcup \alpha \in I f^{-1} (A\alpha ) \end{eqnarray*}$

hoffe, das passt nun, ist mein erstes ÜB, sorry...

25.10.2013, 00:40

Guppi12

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Ja, jetzt siehts gut aus.

Jetzt müsstest du noch die andere Inklusion zeigen. Das sollte aber nicht allzu schwer fallen, weil du eigentlich exakt den gleichen Weg auch zurückgehen kannst.

Eine kleine Anmerkung: Wenn du mit dem Mauszeiger über die Latex-Bildchen gehst, erscheint ein Tooltip, der anzeigt, welcher Code dafür eingegeben wurde. Das solltest du dir mal da, wo es richtig aussieht, anschauen.

29.10.2013, 13:44

Atlantik

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Super, vielen Dank für die Hilfe!!!

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