Substitution Wahrscheinlichkeitsdichte

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T2D2 Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution Wahrscheinlichkeitsdichte
Hallo,

Ich kenne die Verteilung von X über die Dichte fX. Nun möchte ich die Verteilung von Z=aX+b wissen. Wir haben dazu in der Vorlesung eine Substitution gemacht und fZ mithilfe von fX ausgedrückt. Nur haben wir dazu keine Herleitung gesehen.

Wie kann ich diese Bezeihung mathematisch korrekt herleiten? Meine erste Idee war jetzt ein Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte zu bilden und dort zu substituieren. Allerdings kommt dabei bisher nichts sinnvolles raus.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dichte sagt dir ja: P(X <= x) = F(x). Für jede reelle Hilfsfunktion phi gilt also auch P(X <= phi(x) ) = F ( phi(x) ).

Nun setze mal einfach dein Z = aX + b anstelle von X in P hinein - und forme anschließend die Ungleichung äquivalent so um, dass X auf der linken Seite des <= alleine steht. Was steht dann auf der rechten Seite? Taufe es zB auf den Namen phi und siehe oben.

LG
sibelius84
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