Vollständige Induktion einer Ungleichung

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Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion einer Ungleichung
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hänge bei einer Aufgabe fest, die ich durch Vollständige Induktion beweisen soll.



Da es sich nicht um eine Gleichung handelt, weiß ich nicht, ob ich bei dem Induktionsschritt



das so schreiben kann



um dann anschließend so umzuformen, dass etwas sinnvolles dabei heraus kommt.


Vielen Dank
Ing.o




Meine Ideen:
..
Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Ich habe die Frage gestellt, war aber noch nicht angemeldet...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Schreiben kann man viel. Man sollte aber mit ein paar warmen Worten beschreiben, worauf sich das Geschriebene begründet:

Im Induktionsschritt ist zu zeigen, daß gilt:



Zunächst ist wegen der Induktionsvoraussetzung

Jetzt mußt du noch zeigen, daß die rechte Seite der Ungleichung auch größer als ist.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Zitat:
Original von klarsoweit
...
Jetzt mußt du noch zeigen, daß die rechte Seite der Ungleichung auch größer als ist.


Das ist aber nicht so einfach bzw. offensichtlich.
Finde ich zumindest. Darf ich einen Tipp geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Im Moment ist nicht erkennbar, daß der Fragesteller einen Tipp benötigt.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

ok Augenzwinkern
 
 
Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnellen Antworten.

Wenn die Aufgabe eine Gleichung wäre, also
dann würde ich so vorgehen:





















Nun ist das Ende ja falsch. Es müsste ja



heissen.

Das würde aber doch bedeuten, dass



wäre. Sonst könnte ich das Betragszeichen doch nicht einfach durch ersetzen, weil es ja kleiner ist.

Ich hoffe das war verständlich erklärt.

Vielen Dank schonmal
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach meinem Geschmack zuviel "wäre, hätte, würde, wenn": Warum klebst du so krampfhaft an vermeintlichen Gleichungen, wo hier doch eine Ungleichung zu beweisen ist? Bei Befolgung der Empfehlung von Klarsoweit

Zitat:
Original von klarsoweit
Zunächst ist wegen der Induktionsvoraussetzung

Jetzt mußt du noch zeigen, daß die rechte Seite der Ungleichung auch größer als ist.

reicht es also im Induktionsschritt, die Ungleichung nachzuweisen.

Also ersetz mal schön in deiner ellenlangen Umformungskette die falschen Gleichheitszeichen durch die wirklich passenden Relationszeichen < oder > und denk auch darüber nach, ob das wirklich alles Äquivalenzumformungen sind (insbesondere bei Quadrierungen muss man da ja aufpassen).
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Jubeln! Augenzwinkern
Du musst nur das Gleichheitszeichen durch das größer als Zeichen ersetzen. Dann hast du es.

Also

Zitat:
Original von Ing.o
...

...


anstatt

Zitat:
Original von Ing.o
...

...
Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich soweit verstanden. Aber warum kann ich für den Summenausdruck etwas einsetzen (heisst ja, dass es gleich groß ist) was eigentlich kleiner sein soll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ing.o
Aber warum kann ich für den Summenausdruck etwas einsetzen (heisst ja, dass es gleich groß ist)

Lies bitte richtig, was klarsoweit geschrieben hat:

Zitat:
Original von klarsoweit
Zunächst ist wegen der Induktionsvoraussetzung

Ich lese dort nicht da geringste von angenommener Gleichheit, sondern klar und deutlich ein , alles völlig korrekt.
Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit hat doch nur auf beiden Seiten der "Ungleichung"
addiert.

Dann stelle ich die Frage mal anders.

Was für andere Schreibweisen gibt es für den Ausdruck



noch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich willst du darauf hinaus, dass man einen schönen geschlossenen Ausdruck für diese Wurzelsumme hat - hat man aber nicht so, deswegen beweist man ja hier auch nur eine Ungleichung statt einer ja doch viel informativeren Gleichung.

P.S.: Das scheint wohl tatsächlich die erste Ungleichung zu sein, die du nachweist, denn andernfalls kann ich mir deinen Widerstand gegen diese Beweisführung hier nicht erklären. unglücklich


EDIT: Vielleicht hast du auch nur Verständnisprobleme mit der Transititvität der Operation >, im Klartext:

Aus und (d.h. ) folgt auch .

Nichts anderes wird im Induktionsschritt (eigentlich überhaupt im Induktionsschritt nahezu jeden Ungleichungs-Induktionsbeweises) genutzt.
Ing.o Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

EDIT: Vielleicht hast du auch nur Verständnisprobleme mit der Transititvität der Operation >, im Klartext:

Aus und (d.h. ) folgt auch .


Das war ein gutes Stichwort. Ich habs verstanden. Vielen Dank
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