Extremwertaufgabe: Maximale Fensterfläche

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25.10.2013, 13:56	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Maximale Fensterfläche Habe hier mal eine Übungsaufgabe von unserem Mathebuch bezüglich Extremwertaufgaben, wo ich an ein paar Stellen nicht so richtig weiterkomme^^ Die Aufgabenstellung lautet: 1. Ein Fenster soll die Form eines Rechteckes mit einem aufgesetztem Halbkreis haben. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei gegebenen Umfang u die Fläche des Fensters für den Lichteinfall maximal wird ? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Geg.: U Ges.: A max. Skizze: Bild aus externem Link als Anhang eingefügt. Bitte externe Links vermeiden, die sind irgendwann nicht mehr gültig. Steffen Lös.: U + U $\begin{eqnarray} u=2r+2a+pir \end{eqnarray}$ ARechteck + A A= $\begin{eqnarray} 2ra+ pir²/2 \end{eqnarray}$ Jetzt nehme ich die Formel vom Umfang $\begin{eqnarray} U=2r+2a+pir \end{eqnarray}$ und habe mich entschieden, nach a umzustellen. Daraus ergibt sich ----> $\begin{eqnarray} a= u/2 - r - pir/2 \end{eqnarray}$ Die umgestellte Gleichung setzte ich nun in den Flächeninhalt A ein, also in die Gleichung $\begin{eqnarray} 2ra+ pir²/2 \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich dann logischweiße folgende Gleichung $\begin{eqnarray} A= 2r(U/2 - r - pir/2) + pir² / 2 \end{eqnarray*}$ Ab hier ist mir die Vorgehensweiße unklar. Über eine Antwort würde ich moch freuen
25.10.2013, 14:43	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Soweit stimmt alles. Ich würde die Klammer auflösen und die Funktionsgleichung noch ein wenig zusammenfassen. Danach geht es ans Ableiten, da du ja einen Extremwert suchst.
26.10.2013, 14:30	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A= 2r(u/2 -r - pir/2) + pir²/2 \end{eqnarray}$ #( Ausmultiplizieren ) $\begin{eqnarray} A= ur -2r² -pir² + pir²/2 \end{eqnarray}$ # (Zusammenfassen) $\begin{eqnarray} A= ur - 2r² - pir²/2 \end{eqnarray}$ ---------------------------- ---------------------------- Nun zum Ableiten : $\begin{eqnarray} A ' (r) =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A '' (r) = < 0 --> max. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A ' (r) = u - 4r - pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A ''(r) = -4 - pi \end{eqnarray}$ Muss ich die abgeleitete Gleichung jetzt irgendwo einsetzen?
26.10.2013, 14:48	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst sie Null setzen und r ausrechnen. Soweit ist alles richtig.
26.10.2013, 15:02	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, danke. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht... Also: u-4r-pir = 0 # ( -u ) -4r - pir = - u # ( Ausklammern) r ( -4 - pi ) = - u # : (-4 - pi) r = u / (4 + pi) So richtig?
26.10.2013, 15:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du um den Nenner noch eine Klammer setzt, stimmt alles.
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26.10.2013, 15:20	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Als nächstes müsste ich r = u/(4+pi) in die umhestellte Gleichung einsetzen: a= u/2 - r - pir²/2 $\begin{eqnarray} a= u/2 - u/4+pi - pi* u/(4+pi) /2 \end{eqnarray*}$ Oder?
26.10.2013, 15:28	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, bis auf wieder eine fehlende Klammer. Und den letzten Term hast du etwas unglücklich formuliert. Du kannst den Nenner mit 2 multilplizieren anstatt ihn durch 2 zu teilen.
26.10.2013, 15:52	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dann : $\begin{eqnarray} a = u/2 - u/(4+pi) - upi / ( 2(4+pi) ) \end{eqnarray*}$ ?
26.10.2013, 16:38	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so kann man es ausdrücken.
26.10.2013, 19:27	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Der nächste Schritt ist mir unklar kannst du mir ein Tipp geben?
26.10.2013, 19:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es wurde nach den Abmessungen des Fensters bei gegebenem Umfang gefragt. Du musst also r und a als Ausdrücke mit u angeben. Das eine ist erledigt: r = u/(4 + pi) Das andere auch: a = u/2 - u/(4+pi) - u·pi/(8+2pi) Ich würde sagen: Wir sind fertig.
26.10.2013, 20:09	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, jedoch fehlt doch noch die Fläche A , bei gesucht. Das heißt dann also, wenn ich die A herausfidnen möchte die Formel $\begin{eqnarray} A= 2ra+pir²/2 \end{eqnarray}$ nehmen müsste, um dann auf A $\begin{eqnarray} max \end{eqnarray}$ zu kommen richtig?
26.10.2013, 20:12	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man müsste r und a ersetzen. Ich sehe in der Aufgabenstellung jedoch nicht, dass das notwendig ist. Es wird nicht nach der maximalen Fläche gefragt sondern nach den Abmessungen. Oder hast du nicht alles aufgeschrieben?
26.10.2013, 20:18	Bullop	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, habe es so aufgeschrieben wie es im Buch steht. Wiederum stimmt es auch, dass in der Aufgabenstellung nur nach den Abmessungen gefragt sind. Okay dann danke ich dir
26.10.2013, 20:22	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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