Lösungsmengen einer Ungleichung

25.10.2013, 14:07	tony_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmengen einer Ungleichung Meine Frage: ist soll von folgeneder gleichung die Lösungsmenge bestimmen: ((x-2)/(4+2x))<x Meine Ideen: als erstes habe ich die -2 ausgeschlossen da ja sonst die ngleichung nicht erfüllt ist. dann habe ich den bruch weggemacht und wollte mit der pq formel die werte ermitteln. jetzt ist die wurzel aber negativ und ich kommt nicht weiter. 2x^2+3x-2>0 habe ich verwendet. vielen dank schonmal für eure hilfe
25.10.2013, 14:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
"Wegmachen" des Bruches bei einer derartigen Ungleichung zieht i.d.R. eine Fallunterscheidung nach sich, hier konkret die Fälle $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x>-2 \end{eqnarray}$ . Davon sehe ich jetzt aber nichts bei dir.
25.10.2013, 14:20	tony_01	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine schnelle antowort. das mit der fallunterscheidung habe ich mir schon gedacht. leider fehlt mir jetzt der ansatz wie ich mit der fallunterscheidung weitermache.
25.10.2013, 14:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst eine Fallunterscheidung machen, einmal für 2 + x > 0 und einmal für 2 + x < 0 und für beide Fälle jeweils die Teil-Lösungsmengen (unter dem bestimmten Fall) ermitteln. Diese beiden Mengen sind dann zu vereinen. Hinweis: Bei der Multiplikation der Ungleichung mit einer negatiben Zahl kehrt sich das Relationszeichen um. mY+
25.10.2013, 15:06	tony_01	Auf diesen Beitrag antworten »
meine lösung [attach]31898[/attach] Edit opi: Doppelten Anhang entfernt.
25.10.2013, 15:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} 2x^2+3x+2>0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , da die zugehörige quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} 2x^2+3x+2=0 \end{eqnarray}$ keine reellen Lösungen hat. Damit liegst du im Fall 1 links falsch, denn dort geht es um die reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , welche die gegenteilige Ungleichung $\begin{eqnarray} 2x^2+3x+2<0 \end{eqnarray}$ erfüllen, und das sind dann eben gar keine! D.h., es ist $\begin{eqnarray} L_1=\emptyset \end{eqnarray}$ . Was du rechts im einzelnen für Rechnereien anstellst, kommt mir einigermaßen dubios vor, aber im Endeffekt stimmt zumindest das Teilergebnis $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Es gibt ja verschiedene Methoden, eine derartige Ungleichung zu lösen. Ich favorisiere, die Fallunterscheidung möglichst lange hinauszuschieben und stattdessen erstmal die Terme alle so vorzubereiten, dass es am Ende ganz schnell geht. Konkret heißt das hier, alles auf eine Seite bringen und dort dann auf den gemeinsamen Nenner: $\begin{eqnarray} \frac{x-2}{4+2x} < x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < x-\frac{x-2}{4+2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < \frac{(2x^2+4x)-(x-2)}{4+2x} = \frac{2x^2+3x+2}{4+2x} \end{eqnarray}$ Nun ist (wie oben schon erwähnt) stets $\begin{eqnarray} 2x^2+3x+2>0 \end{eqnarray}$ , d.h. der Zähler ist stets positiv. Damit ist der Gesamtbruch genau dann positiv, wenn dies auch auf den Nenner zutrifft, es ergibt sich direkt $\begin{eqnarray} L = (-2,\infty) \end{eqnarray}$ .
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25.10.2013, 15:39	tony_01	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hab ich es auch verstanden. deine zweite methode ist super. vielen dank dafür
25.10.2013, 15:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat natürlich nicht immer so ein Glück wie hier mit dem Zähler. Aber auch bei komplizierteren Ungleichungen wie hier ist die Methode bei solchen "Bruchungleichungen" vom Grundsatz her ganz nützlich.

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