Untervektorraum

25.10.2013, 15:37

h1151874

Hallo!
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das Beispiel richtig bewiesen habe.

Bsp :
"Let S1 and S2 be two subspaces of vector space V . Then their union S1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ S2 is a subspace of V ."

Also : S1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ S2 ist ein Unterraum, weil

U $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ und U $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 für alle u1,u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
1) u1 + u2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U
2) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ u1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U

Genügt das als Beweis?? oder muss ich das anderes beweisen?

Danke für jede Hilfe!!
LG

25.10.2013, 15:46

10001000Nick1

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Das ist noch kein Beweis. Du hast bis jetzt nur die Unterraumkriterien hingeschrieben, musst jetzt aber noch begründen, warum die gelten.
Was soll eigentlich U sein?

25.10.2013, 16:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von h1151874

"Let S1 and S2 be two subspaces of vector space V . Then their union S1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ S2 is a subspace of V ."

Die "union"=Vereinigung ist im Allgemeinen kein Unterraum. Wenn du allerdings wirklich $\begin{eqnarray*} S_1\cap S_2 \end{eqnarray*}$ meinst, also den Durchschnitt="intersection", dann wäre das richtig.

25.10.2013, 20:51

h1151874

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Anbei das Bsp

25.10.2013, 20:54

RavenOnJ

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OK, das ist aber die "intersection", also der Durchschnitt, nicht die "union", die Vereinigung.

25.10.2013, 20:58

RavenOnJ

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Beim Durchschnitt ist es ja so, dass jeder Vektor, der dort enthalten ist, sowohl zum einen, wie zum anderen Untervektorraum gehört. Du musst nun beweisen, dass Addition und skalare Multiplikation nicht aus dem Durchschnitt herausführen.

28.10.2013, 10:13

h1151874

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ok, danke!

wäre das jetzt richtig ?

u1 + u2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray*}$ U

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * u1 = $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda y_1 \\ \lambda z_1 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray*}$ U

28.10.2013, 10:17

RavenOnJ

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Ich nehme an, U soll der Durchschnitt sein. Wo hast du jetzt gezeigt, dass die Ergebnisvektoren deiner Operationen in U liegen? Du behauptest das nur, das ist noch kein Beweis.

28.10.2013, 10:22

h1151874

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mit u habe ich Untervektorraum gemeint.
ich komme leider nicht auf den Beweis. Kann mir bitte jemand helfen ?

28.10.2013, 10:25

RavenOnJ

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Du musst halt bei den Vektoren zeigen, dass sie in beiden UVR enthalten sind. Dann sind sie auch im Durchschnitt.

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