Enthält ein Ideal die Eins, so ist es Hauptideal

25.10.2013, 18:09	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Enthält ein Ideal die Eins, so ist es Hauptideal Meine Frage: Hallo, ich möchte zeigen, das $\begin{eqnarray} S^{-1}\mathbb{Z}:=(R\times S)/\sim \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} S:=\left\{ m\in\mathbb{Z}:\text{ggT}(m,15)=1\right\} \end{eqnarray}$ , ein Hauptidealring ist. Meine Ideen: Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} S^{-1}\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Integritätsbereich ist. Ich muss also noch zeigen, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist. Für letzteres finde ich keinen Ansatz: Eventuell könnte ich zeigen, dass jedes Ideal die Eins enthält. WENN ICH MICH NICHT IRRE (bitte korrigiert mich an dieser Stelle, dies ist eine kleine Zusatzfrage von mir in diesem Thread), müsste jedes Ideal, welches die Eins enthält, auch ein Hauptideal sein, da man mittels Multiplikation eines beliebigen Ringelementes ja selbiges erhält.
25.10.2013, 18:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Jede Lokalisierung eines Hauptidealrings ist ein Hauptidealring. Das ist viel zu einfach zu zeigen, als dass es sich lohnen könnte, den Spezialfall hier separat zu betrachten. 2. Natürlich ist jedes Ideal, das die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ enthält ein Hauptideal, nämlich $\begin{eqnarray} (1)=R \end{eqnarray}$ . Dein Ansatz kann also nicht klappen, denn ein Ring, in dem jedes Ideal (außer 0 natürlich) die 1 enthält, ist ein Körper. Dein Ring hier ist aber keiner, denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ liegt ja z.B. nicht drin.
25.10.2013, 19:06	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollte man vielleicht direkt zeigen, dass es auch im Allgemeinen gilt. Sei also $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring und $\begin{eqnarray} S\subset R\setminus{0} \end{eqnarray}$ ein multiplikativer Monoid. Nehmen wir uns ein Ideal $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} S^{-1}R \end{eqnarray}$ vor. $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ist von der Form $\begin{eqnarray} I=\left(\frac{r_1}{s_1},\cdots,\frac{r_k}{s_k}\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r_i\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_i\in S \end{eqnarray}$ . () Jetzt werde ich ihrgendwie die injektive Eigenschaft der Abbildung $\begin{eqnarray} \iota : R\to S^{-1}R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r\mapsto \frac{r}{1} \end{eqnarray}$ ausnutzen müssen; wohl eine Urbildbetrachtung durchführen müssen, etc. Aber wie genau es nach () weitergeht ... da fehlt mir die Idee. Kannst du mir weiterhelfen?
25.10.2013, 19:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst gar keine Erzeuger von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ zu wählen. Betrachte einfach $\begin{eqnarray} \iota^{-1}(I) \subset R \end{eqnarray}$ , dort gibt es einen Erzeuger $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ja Hauptidealring ist. Zeige: $\begin{eqnarray} \frac{f}{1} \in S^{-1}R \end{eqnarray}$ erzeugt dann $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Die Injektivität spielt übrigens keine Rolle. Nicht dass du dich da versteifst. Also könnte man formulieren: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring, in dem jedes Ideal von einem Element erzeugt ist (nicht notwendigerweise nullteilerfrei). Dann hat $\begin{eqnarray} S^{-1}R \end{eqnarray}$ die selbe Eigenschaft. (Hier kommt man nun gar nicht auf die Idee die Injektivität zu nutzen, weil sie nicht gegeben ist)
25.10.2013, 20:05	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, erscheint mir fast trivial (darum irre ich vielleicht): Sei $\begin{eqnarray} \frac{r}{s}\in I \end{eqnarray}$ beliebig. Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{r}{s}=\frac{f}{1}\frac{r'}{s} \end{eqnarray}$ , denn: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ erzeugt $\begin{eqnarray} \iota^{-1}(I) \end{eqnarray}$ , d.h. für alle $\begin{eqnarray} r\in \iota^{-1}(I) \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} r'\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} fr'=r \end{eqnarray}$ . Passt das so?
25.10.2013, 22:09	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt es so, wie es jetzt ist, oder habe ich da etwas falsch gemacht?
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »