Integral (komplex) entlang eines Halbkreises

25.10.2013, 18:37

steviehawk

Integral (komplex) entlang eines Halbkreises

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe bearbeiten:

"Man berechne: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! |z| \, dz \end{eqnarray*}$ einmal für den oberen Halbkreis von -1 nach 1 und einmal für die gerade Strecke von -1 nach 1."

Leider habe ich noch nicht so wirklich Ahnung von komplexer Analysis..

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke, war mal $\begin{eqnarray*} z = x+iy \end{eqnarray*}$ und somit: $\begin{eqnarray*} |z| = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ für die Integralgrenzen nimmt man ja dann wohl die Grenzen -1, 1..

was brauche ich denn noch um nun das Integral zu lösen??

EDIT, habe glaub gerade was im Skript gefunden, ich schreibe nochmal, wenn es fragen gibt smile

Also ich habe die Definition:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! f \, dz := \int \! f(\gamma (t) ) \gamma'(t)\, dt \end{eqnarray*}$

Mir fällt es aber schwer diese anzuwenden.. Ich versuche es mal.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! |e^{it}|ie^{it} \, dt \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?

Noch ein Edit smile

Also ich versuche es noch ein Mal.. (Grenzen wurden noch verbessert)

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! f(z) \, dz = \int_{-\pi}^{0} \! f(\gamma(t))\gamma'(t) \, dt = \int_{-\pi}^{0} \! |e^{it}|ie^{it} \, dt = i \int_{-\pi}^{0} \! \sqrt{e^{it}e^{-it}}e^{it} \, dt = i\int_{-\pi}^0 \! \sqrt{e^0} e^{it} \, dt = i \int_{-\pi}^{0} \! e^{it} \, dt = [e^{it}]_{-\pi}^{0} = e^0 - e^{-i\pi} = 1 -(-1) = 2 \end{eqnarray*}$

haut das hin?

26.10.2013, 10:23

Che Netzer

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Mit den verbesserten Grenzen gehst du den unteren Halbkreis entlang.
Das Ergebnis ändert sich dadurch aber nicht.

Andererseits kannst du bemerken, dass $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert \end{eqnarray*}$ überall auf dem Einheitskreis Eins ist (und die konstanten Funktionen sind holomorph). Das gesuchte Integral ist also $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^11\dd z=1-(-1)=2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |z| = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Nein.

26.10.2013, 10:47

steviehawk

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Es muss $\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ heißen.

Und als Grenze müsste ich eigentlich $\begin{eqnarray*} \pi - 0 \end{eqnarray*}$ haben..

Wie kann ich mir das klar machen, wann ich oben und wann unten lang gehe?

Es ist ja $\begin{eqnarray*} e^{i\pi} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{i(-\pi)} = -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Danke Che!

26.10.2013, 10:50

Che Netzer

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Mal dir auch noch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\pm\mathrm i\pi} \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis. Überleg dir, wie du vom Argument $\begin{eqnarray*} \pm\pi \end{eqnarray*}$ zum Argument Null kommst und dabei den oberen Weg entlanggehst.

26.10.2013, 11:05

steviehawk

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Geh ich Recht in der Annahme, dass der Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn ich ihn durch: $\begin{eqnarray*} \gamma (t) = e^{it} \end{eqnarray*}$ parametrisiere?

Dann muss ich ja von $\begin{eqnarray*} 0 - \pi \end{eqnarray*}$ integrieren.

Ich dachte, irgendwie, dass die untere Grenze immer die kleinere sein muss, deshalb habe sie getauscht.

26.10.2013, 12:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von steviehawk
Geh ich Recht in der Annahme, dass der Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn ich ihn durch: $\begin{eqnarray*} \gamma (t) = e^{it} \end{eqnarray*}$ parametrisiere?

Ja.

Zitat:

Dann muss ich ja von $\begin{eqnarray*} 0 - \pi \end{eqnarray*}$ integrieren.

Dann würdest du von Eins bis $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ über den oberen Halbkreis gehen.

Vielleicht benutzt du lieber $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\mathrm e^{-\mathrm it} \end{eqnarray*}$ , denn das geht für steigendes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Uhrzeigersinn.

26.10.2013, 15:14

steviehawk

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Ich bin jetzt irgendwie verwirrt

Kannst du mir vielleicht nochmal erklären, wie ich mir die neuen Grenzen überlege. Gerne auch an einem anderen Beispiel..

26.10.2013, 15:19

Che Netzer

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Welche "neuen" Grenzen?

Zunächst entscheidest du dich für eine Parametrisierung des Einheitskreises (für eine Orientierung). Dann kannst du dir überlegen, welche Werte als untere und welche als obere Intervallgrenze überhaupt infrage kommen, wenn du von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ zur Eins kommen möchtest.

26.10.2013, 15:28

steviehawk

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ok, ich habe mich für die Parametriesierung $\begin{eqnarray*} \gamma (t) = e^{it} \end{eqnarray*}$ entschieden, dabei würde ich jetzt auch gerne bleiben.

Ich komm dann immer auf das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^0 \! ... \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} e^{i\pi} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{i\cdot0} = 1 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist es wirklich besser, wenn man $\begin{eqnarray*} \gamma (t) = e^{-it} \end{eqnarray*}$ dann müsste ja das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^0 \! ... \end{eqnarray*}$ passen oder?

26.10.2013, 15:33

Che Netzer

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Ja, Null ist eine sinnvolle Wahl der oberen Grenze. Die untere könnte dann allerdings auch $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ sein. Um dich zu entscheiden, kannst du entweder die Orientierung betrachten oder du siehst dir $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\frac\pi2\mathrm i} \end{eqnarray*}$ an, was ja auf dem oberen Halbkreis liegt.

26.10.2013, 15:45

steviehawk

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Also kann ich für die Parametrisierung: $\begin{eqnarray*} \gamma (t) = e^{it} \end{eqnarray*}$ das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^0 ... \end{eqnarray*}$ verwenden?

26.10.2013, 15:47

Che Netzer

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Ja.

26.10.2013, 15:58

steviehawk

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Ok, habe gerade noch mal geprüft, warum das mit $\begin{eqnarray*} e^{-i \pi} \end{eqnarray*}$ den unteren Weg gab.

Wenn man von $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ zur Null will, wird ja z.B. der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und dann sieht man aber, dass: $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-\pi}{2}i} \end{eqnarray*}$ auf der unteren Kreishälfte liegt..

DANKE Wink

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