Überprüfung Gruppe mit Matrizen |
25.10.2013, 18:40 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Überprüfung Gruppe mit Matrizen Zeigen Sie, dass die Matrizen E=(1 0) (0 1) I=(0 i) (-i 0) J=(0 1) (-1 0) K=(-i 0) (0 i) zusammen mit -E, -I, -J, -K bezüglich der üblichen Multiplikation komplexer Zahlen und der üblichen Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden. Ist diese Gruppe kommutativ? Meine Ideen: Ich muss überprüfen, ob es ein neutrales Element und ein inverses Element exisert. Dazu muss ich ein Element der Gruppe definieren. Doch wie sieht ein Element meiner Gruppe aus? |
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25.10.2013, 21:02 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Was soll das heißen, dass "ein inverses Element existiert"?
Nein, die acht Elemente sind vorgegeben. Du sollst zeigen, dass diese achtelementige Menge mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe bildet.
Die sind allesamt in der Aufgabenstellung genannt. Wobei du die gegebene Menge aber noch nicht als Gruppe bezeichnen solltest. |
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25.10.2013, 21:54 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Also verstehe ich das richtig, dass ich zeigen muss, dass E*E=E, I*E=I, J*E=J, K*E=K E=Einheitsmatrix und E-E=O, I-I=O, J-J=O, K-K=O O=Nullmatrix gilt? Wenn dies falsch ist, dann weiß ich immer noch nicht wie die Aufgabe zu lösen ist |
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25.10.2013, 22:01 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Ja, die Aussagen brauchst du.
Wozu sollte das gut sein? Schreibe aber als erstes mal auf, um welche Menge es geht. |
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26.10.2013, 09:18 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Meine Menge ist {E; I; J; K; -E; -I; -J; -K} Ich habe gelernt, wenn man überprüfen soll, ob eine Menge eine Gruppe ist, dass ein neutrales Element existieren muss und zu jedem Element ein inverses Element. Was muss ich jetzt tun? |
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26.10.2013, 09:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Genau. Nennen wir die Menge mal .
Die Formulierung klingt ja schon viel besser. Aber was sollen denn neutrales und inverses Element sein? Dazu brauchst du irgendeine Verknüpfung auf . Diese soll die Matrixmultiplikation sein. Aber ist das Produkt zweier Matrizen aus wirklich immer in ? |
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26.10.2013, 10:02 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen um dies zu überprüfuen könnte ich ja alle Matrizen miteinander mutiplizieren und dann schauen, ob die einzelnen Ergebnisse wieder in H liegen, oder? |
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26.10.2013, 10:10 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Das sind ja 64 Rechnungen?! Geht das auch anderst? |
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26.10.2013, 10:14 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Es gibt ein paar Abkürzungen. Z.B. brauchst du nur Produkte der ersten vier Elemente , , und zu berechnen, denn ist abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel. |
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26.10.2013, 10:24 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Also ich habe jetzt: E*E; I*E; J*E; K*E; E*I; I*I; J*I; K*I; E*J; I*J; J*J; K*J; E*K; I*K; J*K; K*K; errechnet und für all diese Multiplikation ist das Ergebnis in H enthalten. Da du meintest, dass H abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel ist, habe ich die anderen Kombinationen nicht errechnet. Die Gruppe ist nicht kommutativ, da z.B. K*J = J und J*K= -J Habe ich jetzt schon die Aufgabe gelöst? |
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26.10.2013, 10:44 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Warum ist H abgeschlossen unter Vorzeichenwechsel? Was bedeutet das? |
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26.10.2013, 10:46 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Wenn eine Matrix in enthalten ist, dann auch . Naja, jedenfalls hast du jetzt gezeigt, dass die Matrixmultiplikation wirklich eine sinnvolle Verknüpfung auf ist. Wie sieht es mit neutralem und inversen Elementen aus? |
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26.10.2013, 13:37 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Ja das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, welche auch in E enthalten ist. Die jeweiligen Inversen Elemente sind -E, -I, -J, -K bzw. E, I, J, K. Jedoch ist E-E=O und die Nullmatrix ist ja nicht in H. Oder ist die Nullmatrix in jeder Matrix vorhanden? Somit gäbe es Neutralelement und Inverse Element und die Menge wäre folglich eine Gruppe, oder? |
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26.10.2013, 13:39 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen ich meine natürlich: Ja das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix, welche auch in H enthalten ist. |
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26.10.2013, 13:40 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen ich meine: Oder ist die Nullmatrix in jeder GRUPPE vorhanden? |
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26.10.2013, 14:05 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Wieso?
Na und?
Natürlich nicht. Die Symmetriegruppen enthalten ja auch keinerlei Matrizen. |
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26.10.2013, 14:39 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Jetzt verstehe ich gar nichts mehr :'( |
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26.10.2013, 14:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Versuch doch einfach mal, deine Behauptung über die inversen Elemente zu begründen oder zu erläutern, wieso es ein Problem sein sollte, dass die Nullmatrix nicht enthält. |
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26.10.2013, 14:57 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Also ich habe jetzt herausgefunden, dass E das inverse Elment von E ist, -I das inverse Elment von I ist, -J das inverse Elment von J ist, -K das inverse Elment von K ist. Muss ich jetzt auch noch für -E, -I, -J, -K das inverse Elment errechnen oder kann ich mich da wieder darauf beziehen, dass H unter Vorzeichenwechsel abgeschlossen ist? |
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26.10.2013, 15:16 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen
Gut; auf die erste Zeile hättest du aber verzichten können – das inverse Element des neutralen Elements ist ja uninteressant.
Du brauchst nur noch das inverse Element von anzugeben. Überleg dir auch, wieso. |
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26.10.2013, 18:01 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Ich würde sagen, da I*-I = I* (-1)*I = (-1)*I*I=-I*I gilt, (folglich auch für -J und -K) muss man nur noch für -E das inverse Element berechnen. Habe ich dann nun die Aufgabe gelöst? Oder muss man sonst noch etwas beweisen? |
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26.10.2013, 18:08 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Naja, wenn ein Element das inverse Element hat, dann weiß man schon, dass das inverse Element zu ist. Ob die Aufgabe nun vollständig gelöst ist, solltest du selbst wissen. Welchen Anforderungen muss eine Gruppe genügen und welche davon hast du überprüft? |
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26.10.2013, 18:16 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Laut Wikipedia soll noch die Assoziativität für alle Gruppenelemente gelten. Dies habe ich jedoch noch nicht geprüft. |
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26.10.2013, 18:17 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Statt Wikipedia hättest du lieber deine Unterlagen befragen sollen Und was lässt sich über die Assoziativität sagen? |
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26.10.2013, 18:20 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Die Matrizenmultiplikation ist immer assoziativ. Also giltet diese Bedingung auch für die Menge H. |
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26.10.2013, 19:13 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Genau. |
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26.10.2013, 19:53 | KeineAhnung12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Überprüfung Gruppe mit Matrizen Vielen Dank für deine Hilfe!!! |
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